Контрольные задания

1. Доказать свойства функции распределения F(x).

2. Дискретная случайная величина Х имеет ряд распределения

Х	–4	–2	0	2	4
P	0,1	0,2	р3	0,2	0,1

а) Чему равна вероятность того р₃?

б) Построить многоугольник распределения.

в) Найти функцию распределения F(x).

г) Построить график функции распределения F(x).

3. Рассматривается случайная величина Х – число выпадений герба при трех подбрасываниях монеты. Построить ряд и функцию распределения этой случайной величины. Представить их графически.

4. В ящике лежит 7 шаров, среди которых 5 белых. Из ящика наудачу взято 3 шара. Найти закон распределения числа белых шаров в выборке. Представить его графически.

5. Является ли функцией распределения некоторой случайной величины каждая из следующих функций:

а) при ; б)

в) при ; г)

5. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найдите вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение а) равное ; б) равное ; в) из промежутка ( , ).

14. Плотность распределения

Рассмотрим непрерывную с.в. Х с функцией распределения F(x), которая является непрерывной и дифференцируемой. Найдем приращение F(x) на интервале (x, x + х):

.

Вычислим среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, потребуем, чтобы х0, в пределе получим производную от функции распределения:

.

Плотностью распределения (плотностью вероятности) непрерывной с.в. Х называется функция

р(x)=F`(x).

Ф ункция р(x) характеризует плотность, с которой распределяются значения с.в. в данной точке х; р(x) называется также дифференциальной функцией распределения.

График р(x) называется кривой распределения.

Плотность распределения, так же как и функция распределения, есть одна из форм закона распределения. Однако эта форма не является универсальной в отличие от функции распределения. Плотность распределения существует только для непрерывных с.в.

Свойства плотности распределения:

1. р(x)0, т.е. является неотрицательной функцией, в с.д., F(x) – неубывающая функция;

2. . В с.д., Р(a<X<b)=F(b)-F(a)= ;

3. . В с.д., Р(-<X<)= как вероятность достоверного события;

4. . В с.д., F(x)=Р(X<х)=Р(-<X<х)= .

Контрольные вопросы

1. Какую случайную величину называют непрерывной?

2. Как задают закон распределения непрерывной случайной величины?

3. Что называют плотностью распределения непрерывной с.в.?

4. Сформулируйте характеристические свойства плотности распределения.

5. Чему равна вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение?

6. Как с помощью плотности распределения найти вероятность того, что непрерывная случайная величина попадет в интервал (a, b)?