Литература
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2002. – Гл. 6 – 8, гл. 10, гл. 11, гл. 12, п.п. 1 – 7, гл. 13 .
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2002. – Гл. 4, гл.6.
Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1999. – Гл. 5, гл. 6.
22. Понятие системы случайных величин
В практических применениях теории вероятностей очень часто приходится иметь дело с задачами, в которых результаты опыта описываются не одной, а двумя и более случайными величинами, образующими систему.
Например, точка попадания снаряда определяется не одной случайной величиной, а двумя: абсциссой и ординатой – и может быть рассмотрена как комплекс двух случайных величин. А осколок, образовавшийся при разрыве снаряда, характеризуется рядом случайных величин: весом, размерами, начальной скоростью, направлением полету и т.д.
Систему случайных величин X, Y, Z, …, W условимся обозначать (X, Y, Z, …, W). При этом, сами случайные величины X, Y, Z, …, W, образующие систему называются составляющими системы.
Свойства системы нескольких случайных величин не исчерпываются свойствами отдельных величин, ее составляющих: помимо этого, они включают также взаимные связи (зависимости) между случайными величинами.
При рассмотрении вопросов, связанных с системами случайных величин, удобно пользоваться геометрической интерпретацией системы. Например, систему двух случайных величин (X, Y) можно изображать случайной точкой плоскости с координатами X и Y. Аналогично систему трех случайных величин может быть изображена случайной точкой в трехмерном пространстве. В общем, система n случайных величин представима случайной точкой в пространстве n измерений. Часто вместо образа случайной точки для геометрической интерпретации системы случайных величин пользуются образом случайного вектора, под которым понимается радиус-вектор случайной точки.
23. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
Законом
распределения дискретной с.в.
(X,
Y)
называется перечень возможных значений
этой величины, т.е. пар чисел
и их вероятностей
,
,
.
Закон распределения дискретной с.в. (X,
Y)
задается в виде таблицы на два входа:
X Y |
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
… |
|
Так как события
при
,
образуют полную группу случайных
событий, то сумма вероятностей, записанных
во всех ячейках таблицы, равна единице,
т.е.
.
Зная закон
распределения двумерной дискретной
с.в., можно найти законы распределения
каждой из составляющих. Действительно,
например, события
;
;
…;
несовместны, поэтому вероятность
.
В общем случае имеет место следующее
соотношение:
при
.
Аналогично
при
.
Задача. Найти законы распределения составляющих двумерной дискретной с.в., заданной законом распределения:
-
X Y
0,1
0,06
0,3
0,18
0,2
0,16
Решение. Сложив
вероятности по строкам, получим
вероятности возможных значений Х:
;
;
.
Ряд распределения составляющей Х
имеет вид:
X |
|
|
|
Р |
0,16 |
0,48 |
0,36 |
Сложив вероятности
по столбцам, получим вероятности
возможных значений Y:
;
.
Ряд распределения составляющей Y
имеет вид:
-
Y
Р
0,6
0,4