Контрольные вопросы

1. Что называется испытанием (опытом)?

2. Что называется событием?

3. Какое событие называется а) достоверным? б) случайным? в) невозможным?

4. Какие события называются а) несовместными? б) совместными?

5. Какие события называются противоположными?ываются а) несовместными б) совместнымиывается случайным? 00000000000000000000000000000000000000000000000000000

6. Что называется полной группой случайных событий?

7. Если события не могут произойти все вместе в результате испытания, то будут ли они попарно несовместными?

8. Образуют ли события А и полную группу?

9. Какие элементарные исходы благоприятствуют данному событию?

10. Какое определение вероятности называется классическим?

11. В каких пределах заключена вероятность любого события?

12. При каких условиях применяется классическая вероятность?

13. При каких условиях применяется геометрическая вероятность?

14. Какое определение вероятности называется геометрическим?

15. Что называется частотой события?

16. Какое определение вероятности называется статистическим?

Контрольные задания

1. Из букв слова «консерватория» наугад извлекается одна буква. Найти вероятность того, что эта буква гласная. Найти вероятность, что это буква «о».

2. На одинаковых карточках написаны буквы «о», «р», «с», «т». Найти вероятность того, что на разложенных наудачу в ряд карточках появится слово «трос».

3. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрывается 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины?

4. Подбрасывается два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма очков на обоих кубиках больше 6.

5. На пяти одинаковых карточках написаны буквы л, м, о, о, т. Какова вероятность того, что извлекая карточки по одной наугад, получим в порядке их выхода слово «молот»?

6. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Чему равна вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов один выигрышный?

7. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры таковы, что их произведение равно нулю.

8. Наудачу выбрано число, не превосходящее 30. Найти вероятность того, что это число является делителем 30.

9. Наудачу выбрано число, не превосходящее 30. Найти вероятность того, что это число кратно 3.

10. Наудачу выбрано число, не превосходящее 50. Найти вероятность того, что это число простое.

4. Операции над событиями. Соотношения между событиями

Сумой, или объединением, двух событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.

Сумма двух событий А и В обозначается через А+В. Аналогично определяется и обозначается сумма n событий – событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.

Произведением, или пересечением, двух событий называется событие, состоящее в одновременном их появлении. Произведение двух событий А и В обозначается АВ. Аналогично определяется и обозначается произведение в случае большего числа событий.

Если событие А произойдет при появлении некоторого другого события В, то говорят, что событий В представляет собой частный случай события А, и пишут . Также говорят, что В влечет А.

Если и , т.е. события А и В в данном опыте могут появиться или не появиться вместе, то их называют равносильными, или эквивалентными, и пишут А=В.

Операции объединения и пересечения событий обладают некоторыми свойствами. Обозначим U – достоверное событие, V – невозможное событие, - событие, противоположное событию А.

Свойства операций над событиями:

№ и название свойства	Сумма событий	Произведение событий
1. Коммутативность	А+В=В+А	АВ=ВА
2. Ассоциативность	А+(В+С)=(А+В)+С	А(ВС)=(АВ)С
3. Дистрибутивность		А(В+С)=АВ+АС
4.	А+А=А	АА=А
5.	А+ =U	A =V
6.	A+U=U	AU=A
7.	A+V=A	AV=V
8.	A=AB+A
9. Двойственность

Свойства 1-4 следуют из определения операций объединения и пересечения.

Докажем свойство №8:

.

Это свойство позволяет разложить любое событие А на сумму двух несовместных событий.

Если , то АВ=В и применение свойства 8 дает следующий результат: A=B+A.

Разностью событий А и В называется событие А-В, которое заключается в наступлении события А и ненаступлении события В.

Задачи

1. Событие А – «появление герба при одном подбрасывании монеты», событие В – «появление двух гербов при подбрасывании двух монет». Найти и .

2. Подбрасывается игральный кубик. Обозначим события: А – «выпадение 6 очков», В – «выпадение трех очков», С – «выпадение четного числа очков», D – «выпадение числа очков, кратного трем». Каковы соотношения между этими событиями?

3. Опыт – подбрасывание игрального кубика. События А_k – «выпадение k очков», А – «выпадение четного числа очков», В – «выпадение нечетного числа очков», С – «выпадение числа очков, кратного трем», D – «выпадение числа очков, большего трех». Выразить события А, В, С, D через события А_k.

4. Пусть А, В, С – произвольные событии. Что означают следующие события: , , , , ?

Решение

1. - «появление цифры при одном подбрасывании монеты»; - «появление герба+цифра или цифра+цифра, или цифра+герб».

2. , , A+B=D, CD=A.

3. А=А₂+А₄+А₆, В=А₁+А₃+А₅, С=А₃+А₆, D=А₄+А₅+А₆.

4. - «произошло событие А, не произошли В и С»; - «не произошло хотя бы одно из трех событий»; - «произошло ровно одно из событий»; - «произошло не более одного из событий».