6. Теорема умножения вероятностей

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло ли событие В или нет.

Примеры зависимых и независимых событий

1. А – «появление герба при первом подбрасывании монеты»; В – «появление герба при втором подбрасывании монеты». А и В – независимые события.

2. В урне два белых шара и один черный. Два лица вынимают по одному шару; рассматриваются события: А – «появление белого шара у первого лица»; В – «появление белого шара у второго лица». Вероятность события А равна 2/3, после того, как событие А произошло, вероятность события В равна ½. Событие А зависит от события В.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается: Р_В(А).

Очевидно, что условие независимости событий А и В имеет вид: Р(А)=Р_В(А).

Теорема умножения вероятности формулируется следующим образом.

Вероятность одновременного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место, т.е. Р(АВ)=Р(А)Р_А(В).

Докажем теорему. Рассмотрим события А и В и противоположные им и . В испытаниях, влекущих за собой появление или непоявление события АВ, возможны следующие комбинации: произойдет либо АВ, либо А , либо В, либо . Пусть при n испытаниях событию АВ благоприятствует k случаев, А - m случаев, В - l случаев, - p случаев:

	А
В	k	l	k+l
	m	p	m+p
	k+m	l+p

Имеем: Р(АВ)= , Р(А)= , Р_А(В)= . Выполняется тождество: Р(АВ)=Р(А)Р_А(В).

Следствие из теоремы умножения вероятностей: , следовательно , т.е. отношение безусловных вероятностей равно отношению условных вероятностей.

Теорема умножения вероятностей независимых событий формулируется следующим образом:

Вероятность одновременного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е. Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Задачи.

1. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

2. Та же задача при условии, что после первого вынимания шар возвращается в урну, и шары в урне перемешиваются.

Решение.

1. А – появление двух белых шаров, В – появление первого белого шара, С – появление второго белого шара. Р(С)=Р(А)Р_А(В)=(2/5)(1/4)=0,1.

2. Р(С)=Р(А)Р(В)=(2/5)(2/5)=0,16 Р(С)=Р(А)Р_А(В)=(2/5)(1/4)=0,1.