17. Моменты распределения случайной величины

Рассмотрим распределение дискретной случайной величины:

Х	2	4	7	100
P	0,6	0,2	0,19	0,01

Математическое ожидание данной величины равно 4,33.

Вычислим математическое ожидание квадрата случайной величины, предварительно составив ряд распределения Х²:

Х2	4	16	49	10000
P	0,6	0,2	0,19	0,01

М(Х²)=114,91.

Разница между М(Х) и М(Х²) объясняется тем, что при возведении в квадрат возможных значений х, значение х=100 значительно увеличилось, а его вероятность осталась прежней. Переход от М(Х) к М(Х²) позволяет учесть влияние, которое оказывает на математическое ожидание то возможное значение случайной величины, которое велико и имеет малую вероятность. Поэтому возникает необходимость рассматривать математическое ожидание целой степени случайной величины.

Математическое ожидание k-той степени случайной величины называется начальным моментом k-того порядка:

.

Для вычисления начальных моментов используются формулы:

- для дискретной случайной величины

- для непрерывной случайной величины.

В частности, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию с.в., в с.д., .

Дисперсия случайной величины представляет собой разность начального момента второго порядка и квадрата начального момента первого порядка:

.

Центральным моментом k-того порядка называется математическое ожидание k-той степени отклонения случайной величины от своего математического ожидания:

.

Для вычисления центральных моментов используются формулы:

- для дискретной случайной величины

- для непрерывной случайной величины.

Несложно показать, что ; .

Центральные моменты можно связать с начальным моментами посредством следующих равенств:

;

;

.

Моменты более высоких порядков встречаются редко.

К ак уже было сказано ранее, числовые характеристики описывают различные особенности распределения случайных величин.

В частности, центральный момент третьего порядка служит характеристикой асимметрии (скошенности) распределения. Так как имеет размерность, равную кубу размерности случайной величины, то обычно для этой цели служит безразмерная величина, называемая коэффициентом асимметрии .

Если случайная величина распределена симметрично относительно своего математического ожидания, то . На рисунке показано два асимметричных распределения; одно из них (кривая I) имеет положительную асимметрию, второе (кривая II) - отрицательную асимметрию.

Четвертые центральный момент служит для характеристики так называемой «крутости», т.е. островершинности или плосковершинности распределения. Эти свойства распределения описываются с помощью эксцесса. Эксцессом случайной величины Х называется величина .

Ч исло 3 вычитается из отношения потому, что для весьма распространенного в природе нормального распределения =3. На рисунке представлены: нормальное распределение (кривая II), распределение с положительным эксцессом (кривая I) и распределение с отрицательным эксцессом (кривая III).