Контрольные вопросы

1. Что называется суммой а) двух событий? б) трех событий?

2. Что называется произведением а) двух событий? б) трех событий?

3. Что называется разностью двух событий?

4. Какими свойствами обладают операции над событиями?

5. Как определяются а) зависимые события? б) независимые события?

6. Как определяется условная вероятность?

7. Как определить вероятность появления хотя бы одного из двух несовместных случайных событий А и В?

8. Как определить вероятность появления хотя бы одного из двух совместных случайных событий А и В?

9. Как определить вероятность одновременного появления двух независимых случайных событий А и В?

10. Как определить вероятность одновременного появления двух зависимых случайных событий А и В?

11. Как можно сформулировать условие независимости двух событий?

Контрольные задания

1. Доказать законы двойственности.

2. Доказать, что вероятность появления хотя бы одного из событий А, В, С удовлетворяет соотношению Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС).

3. В лотерее разыгрывается 100 билетов. Выигрыш падает на 10 билетов. Какова вероятность того, что хотя бы один из них выиграет?

4. Определить вероятность того, что случайно взятое двузначное число окажется кратным 2 или 9, или тому и другому одновременно.

5. На 30 одинаковых жетонах написаны 30 двузначных чисел от 1 до 30. Жетоны помещены в пакет и тщательно перемешаны. Какова вероятность вынуть жетон с номером, кратным 2 или 3?

6. В урне 6 голубых и 4 красных шара. Из нее извлекаются подряд два шара. Какова вероятность того, что а) оба шара голубые? б) один шар голубой, а второй – красный?

7. Известно, что Р(А)=0,7, Р(В)=0,3, Р(С)=0,1. Найти вероятность того, что в опыте, связанном с появлением этих событий трех событий, произойдет а) только одно из них; б) хотя бы одно из них; в) не менее двух из них; г) только два из них.

8. В мастерской работают два мотора, независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый мотор не потребует внимания мастера, равна 0,85, а для второго мотора эта вероятность равна 0,8. Найти вероятность того, что в течение часа а) хотя бы один из моторов потребует внимания мастера; б) ни один из моторов не потребует внимания мастера.

7. Формула полной вероятности

Следствием обеих основных теоремы – теоремы сложения и теоремы умножения вероятности – является формула полной вероятности.

Допустим, что некоторое событие А может произойти вместе с одним из событий Н₁, Н₂, …, Н_n, образующих полную группу случайных событий. Поскольку заранее неизвестно, с каким именно из Н₁, Н₂, …, Н_n произойдёт событие А, то Н₁, Н₂, …, Н_n называются гипотезами.

Вероятность события А в этом случае вычисляется по формуле полной вероятности

.

В с.д., так как гипотезы Н₁, Н₂, …, Н_n образуют полную группу, то событие А может появиться только в комбинации с какой-либо из гипотез:

А=АН₁+А Н₂+ …+А Н_n.

Так как гипотезы Н₁, Н₂, …, Н_n несовместны, то и комбинации АН₁, АН_2, …, АН_n также несовместны; применяя к ним теорему сложения, получим:

.

Применяя к событиям АН₁, АН_2, …, АН_n теорему умножения, получим:

.

Задача. Имеются три одинаковые на вид урны; в первой урне два белых и один чёрный шар; во второй – три белых и один чёрный; в третьей – два белых и два чёрных шара. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение. Рассмотрим событие А – «появление белого шара» и три гипотезы:

Н₁ – «выбор первой урны»;

Н₂ – «выбор второй урны»;

Н₃ – «выбор третьей урны».

По условию задачи гипотезы равновозможны, т.е. . Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны:

, , . По формуле полной вероятности имеем:

.