26. Условные законы распределения

Как было показано выше, зная закон распределения системы (заданный в виде функции распределения или плотности распределения), можно найти законы распределения составляющих системы. Обратную задачу в общем случае решить нельзя, т.е. зная законы распределения составляющих, невозможно найти закон распределения системы в целом. Причина этого кроется в следующем. Для того чтобы исчерпывающим образом охарактеризовать систему, недостаточно знать распределение каждой из величин, входящих в систему; нужно еще знать зависимость между величинами, входящими в систему. Эта зависимость может быть охарактеризована с помощью условных законов распределения.

Рассмотрим систему дискретных случайных величин Х и Y. Используя теорему умножения вероятностей зависимых событий, выразим вероятность того, что составляющая Х примет значение х_i, а Y – значение y_j:

Р(х_i, y_j) = Р(х_i)Р(y_j|x_i).

Аналогично

Р(y_j, x_i) = Р(y_j)Р(x_i|y_j).

Отсюда можно выразить Р(y_j|x_i) и Р(x_i|y_j):

Р(y_j|x_i)= Р(х_i, y_j)/ Р(х_i),

Р(x_i|y_j)= Р(y_j, x_i)/ Р(y_j).

Задача. Найти условный закон распределения составляющей Х при условии, что составляющая Y приняла значение у = 2.

Х У	1	2	3	4
2	0,1	0,05	0,2	0,05
4	0,2	0,15	0,1	0,15

Решение.

Безусловный закон распределения Х имеет вид:

Х	2	4
Р	0,4	0,6

Найдем Р(У=2) = 0,05 + 0,15 = 0,2.

После того, как составляющая Y приняла значение 2, закон распределения Х представляется так:

Х	2	4
Р	0,05:0,2=0,25	0,15:0,2=0,75

Как видно, результаты заметно отличаются.

Теперь рассмотрим непрерывную систему случайных величин (Х, Y). Аналогично случаю дискретного распределения системы можно показать, что

,

,

где , - плотности распределения составляющих Х и Y соответственно, а и - условные плотности распределения Y и Х, вычисленные при условии, что другая величина приняла заданное значение.

Т.о., плотность распределения системы двух величин равна плотности распределения одной из величин, входящих в систему, умноженной на условную плотность распределения другой величины, вычисленную при условии, что первая величина приняла заданное значение.

Указанные выше формулы часто называют теоремой умножения законов распределения. Эта теорема в схеме случайных величин аналогична теореме умножения вероятностей в схеме событий.

Разрешив формулы относительно и , получим выражения условных законов распределения через безусловные:

,

,

а применив формулы и , получим

, .

Задача. Случайная величина (Х, Y) равномерно распределена внутри эллипса . Найти безусловные и условные плотности распределения составляющих.

Решение. В данном случае (с = const) внутри эллипса, вне эллипса . Константу с найдем, воспользовавшись характеристическим свойством двумерной плотности вероятности , из уравнения

или

где D – данный эллипс.

Известно, что , где – площадь области D. В данном случае . Подставляя это значение в последнее уравнение, выражаем с: . Таким образом, плотность совместного распределения Х и Y имеет вид: .

Безусловные плотности распределения составляющих Х и Y найдем, взяв интегралы по переменным у и х соответственно:

Теперь выразим условные плотности распределения составляющих Х и Y:

,

.