Контрольные вопросы

1. В чем состоит разница в понятиях: выборочная характеристика и теоретическая характеристика?

2. Что такое точечная оценка параметра распределения?

3. Как определяется выборочная средняя?

4. Что характеризует выборочная средняя?

5. Как определяется выборочная дисперсия?

6. Что характеризует выборочная дисперсия?

7. Какие требования предъявляются к оценкам параметров?

8. Как определяется несмещенная статистическая оценка?

9. Что является несмещенной оценкой для: а) теоретической (генеральной) средней; б) теоретической (генеральной) дисперсии?

10. Как определяется состоятельная статистическая оценка?

11. Как определяется эффективная статистическая оценка?

Контрольные задания

1. В результате 10 измерений длины стержня одним прибором получены следующие результаты (в мм): 100, 95, 103, 94, 102, 98, 95, 105, 106, 96. Найти оценки: а) длины стрежня; б) дисперсии и среднего квадратического отклонения ошибок прибора. Предполагается, что среднее значение результатов измерений примерно совпадает с истинной длиной стрежня.

2. Даны результаты 10 независимых исследований одной и той же величины прибором, не имеющим систематических ошибок (в мм): 369, 378, 420, 385, 401, 372, 383, 405, 370, 415. Определить несмещенную оценку дисперсии ошибок измерений, если истинная длина измеряемой величины: а) известна и равна 375 мм; б) неизвестна.

39. Интервальное оценивание параметров распределения

Выше были рассмотрены точечные оценки параметров генеральной совокупности, т.е. параметров распределения исследуемого признака Х. Точечные оценки дают приближенное значение неизвестного параметра и используются в тех случаях, когда нужно назвать некоторое число вместо неизвестного параметра .

За исключением редких случаев точное определение неизвестного параметра по выборке невозможно. При замене параметра его оценкой возникает вопрос: как сильно может отклониться это приближенное значение (оценка) от истинного значения ? В частности, нельзя ли указать такую величину , которая бы с заданной вероятностью , близкой к единице, гарантировала бы выполнение неравенства ? Другими словами, нельзя ли указать такой интервал , который с заранее заданной вероятностью «накрывал » бы неизвестное нам истинное значение параметра ?

Заранее выбираемая исследователем вероятность называется доверительной вероятностью или надежностью, а интервал - доверительным интервалом или интервальной оценкой параметра . На практике обычно используют значения доверительной вероятности из небольшого набора достаточно близких к единице значений, например, = 0,9; 0,95; 0,99 и т.д.

Доверительный интервал имеет случайные границы. Действительно, для разных выборок одного и того же объема получаем различные значения , т.е. величина имеет случайное рассеивание. Величина , называемая точностью оценки, также имеет случайный характер.

В данном случае речь идет о вероятности накрыть доверительным интервалом некоторую неизвестную исследователю, но неслучайную точку .

Определяющее доверительный интервал для неизвестного параметра равенство означает следующее. По заданной доверительной вероятности и имеющимся выборочным данным находятся точечная оценка и точность оценки параметра . Затем объявляется, что неизвестное нам значение параметра лежит внутри интервала , т.е. . Поступая таким образом, мы будем ошибаться в длинном ряду наблюдений примерно всех случаев. Например, если = 0,95, то ошибочное решение будет приниматься примерно 5 раз на 100 случаев.

Нахождение оценок характеристик распределения обычно называют точечным оцениванием, а нахождением доверительных интервалов - интервальным оцениванием. Отличие интервального оценивания от точечного и специфика интервального оценивания состоит в следующем:

• доверительный интервал как оценка менее «точен», так как указывается целое множество возможных значений ;

• утверждение « с вероятностью » является истинным, а событие « = » является, как правило, невозможным;

• чем короче доверительный интервал для оценки некоторой характеристики, тем он точнее;

• длина доверительного интервала существенно зависит от объема выборки n – она уменьшается с увеличением n и от величины доверительной вероятности - она увеличивается с приближением к единице.