30. Коррелированность и зависимость случайных величин

Случайные величин Х и Y называются коррелированными, если их корреляционный момент (коэффициент корреляции) отличен от нуля. В противном случае, величины Х и Y называют некоррелированными.

Зададимся вопросом: означает ли коррелированность зависимость, а некоррелированность независимость?

Выше было доказано, что если случайные величины независимы, то их корреляционный момент и коэффициент корреляции равны нулю, следовательно, верно утверждение.

1. Если величины независимы, то они некоррелированы.

Другими словами, независимость означает некоррелированность

Верно и другое утверждение.

2. Если величины коррелированы, то они зависимы.

Докажем этот факт. В самом деле, положим противное, пусть величины Х и Y являются коррелированными и при этом они независимы. Независимость случайных величин означает их некоррелированность, что противоречит условию коррелированности величин Х и Y.

Таким образом, коррелированность случайных величин означает их зависимость.

Утверждения, обратные утверждения 1 и 2 вообще говоря неверны, т.е. из того, что случайные величины некоррелированы вовсе не следует, что они независимы, а из того, что случайные величины зависимы не вытекает, что они коррелированы. В самом деле, можно привести пример зависимых некоррелированных величин.

Задача. Случайная величина (Х, Y) распределена внутри эллипса с плотностью . Доказать, что Х и Y – зависимые некоррелированные величины.

Решение. Ранее в пункте 26 были найдены плотности распределении составляющих Х и Y: и . Случайные величины Х и Y являются зависимыми, что выражается в невыполнении равенства . В самом деле, .

Найдем корреляционный момент системы двух случайных величин Х и Y. Для этого найдем математические ожидания обеих составляющих системы:

, .

Математические ожидания равны нулю как интегралы от нечетных функций в симметричных пределах интегрирования.

Для вычисления корреляционного момента воспользуемся формулой

, или .

Внутренний интеграл представляет собой интеграл от нечетной функции в симметричных пределах интегрирования, он равен нулю, следовательно, корреляционный момент также равен нулю.

Таким образом, из рассмотренного примера следует, что существуют зависимые некоррелированные величины.

Все же существуют некоторые виды систем случайных величин, для которых некоррелированность составляющих влечет за собой их независимость. Это, например, нормально распределенные системы двух случайных величин.

Нормальным законом распределения на плоскости называется распределение двумерной случайной величины (Х, Y), если плотность подчиняется закону

,

где m_x, m_y – математические ожидания, σ_x, σ_y - средние квадратические отклонения составляющих Х и Y соответственно, r_xy – коэффициент корреляции.

Таким образом, нормальный закон на плоскости характеризуется пятью параметрами.

Докажем, что если нормально распределенные случайные величины Х и Y некоррелированны, то они и независимы. В самом деле, пусти Х и Y некоррелированы, т.е. r_xy=0, в этом случае

Таким образом, Х и Y независимы.

Для нормального распределения составляющих двумерной случайной величины понятия независимости и некоррелированности равносильны.