§8. Распределение Больцмана. Барометрическая формула.

Если на молекулы газа не действуют внешние силы, то вследствие теплового движения они равномерно распределяются по всему объёму сосуда, так что в каждой единице объёма содержится в среднем одинаковое число молекул, т.е. n = const. При этом при одинаковой во всех частях объёма температуре в газе устанавливаются всюду одинаковое давление Р = nkT = const.

Иначе обстоит дело в том случае, когда газ находится в некотором внешнем силовом поле, в котором на каждую частицу газа действует внешняя сила. Под действием этих сил молекулы газа собираются преимущественно в тех областях пространства, куда их эти силы заталкивают и там концентрация частиц, а значит, и давление газа возрастает.

Действие внешних сил на молекулы газа противоположено тому действию, которое оказывает на них беспорядочное тепловое движение. Вследствие теплового движения молекулы газа всегда стремятся рассеяться, т.е. распределиться в возможно большом объёме, заполнить весь представленный объём равномерно, с постоянной плотностью. Напортив, внешние силы ограничивают рассеивание молекул, концентрируя их в определённых участках пространства. В результате одновременного влияния внешних сил и теплового движения в газе, находящимся в состоянии теплового движения (Т=const) устанавливается некоторое неравномерное распределение молекул в пространстве. Это значит, что при наличии внешнего поля, концентрация молекул газа, находящегося в состоянии равновесия, различна в различных местах пространства, т.е. является функцией от координат n = (x,y,z).

Примером внешнего поля сил является поле силы тяжести, а примером газа в таком силовом поле является Земная атмосфера. Если бы сила тяжести отсутствовала, то молекулы газов, составляющих атмосферный воздух, под влиянием теплового движения рассеялись бы в мировом пространстве. Напротив, если отсутствовало бы тепловое движение, то под действием силы тяжести все молекулы воздуха упали бы на Землю, и весь воздух собрался бы в тончайшем слое у поверхности Земли. Таким образом, само существование атмосферы является результатом одновременного влияния силы притяжение молекул к Земле и их теплового движения. При этом в атмосфере устанавливается некоторое неравномерное распределение молекул по высоте. Соответственно этому распределению молекул устанавливается и определённый закон изменения давления газа с высотой.

Закон распределения молекул газа по пространству при наличии внешнего силового поля в состоянии равновесия (T=const) впервые получен Больцманом и имеет вид:

(79)

n и n₀ ― концентрации соответственно в точках (x,y,z) и (x₀,y₀,z₀), Е_Р ― потенциальная энергия молекул во внешнем силовом поле.

Закон Больцмана (79) показывает, что молекулы газа распределяются с большей концентрацией там, где их потенциальная энергия меньше. Из этого закона также следует, что различие в концентрациях частиц в разных областях пространства с разными значениями потенциальной энергии уменьшается с увеличением температуры. Действительно, при Т→∞, n→n₀=const независимо от Е_Р, так как , а е⁰=1. Таким образом, внешние силы стремятся сконцентрировать молекулы в областях пространства с минимальной потенциальной энергией, но вследствие теплового движения молекулы рассеиваются и заполняют представленный им объём тем равномернее, чем выше температура газа.

Применим распределение Больцмана к частному случаю, когда газ находится в равновесии в однородном поле силы тяжести. Потенциальная энергия молекул в этом поле

(80)

,

где m₀ ― масса молекулы.

Подставим (80) в (79), получим закон изменения с высотой z концентрации молекул идеального газа, находящегося в поле силы тяжести

(81)

,

где n(z) и n₀ ― концентрация молекул газа соответственно на высоте z и при z = 0. Так как Р = nкT , то умножая (81) на кT , находим , что по такому же закону изменяется с высотой давление газа в поле силы тяжести.

(82)

,

Эта формула носит название барометрической. Она показывает, что давление газа убывает по экспоненциальному закону с высотой, причём тем быстрее, чем тяжелее газ и чем ниже температура T.

Заметим, что барометрическая формула справедлива лишь для газа, находящегося в термодинамическом равновесии, когда его температура одинакова во всех местах объёма и в газе отсутствуют любые потоки. Земная атмосфера не удовлетворяет этим условиям, поэтому формула Больцмана для атмосферы справедлива приблизительно.