§3. Интегральная функция распределения случайной величины

Определение. Случайной величиной Х называют величину, которая в результате опыта принимает то или иное значение, заранее неизвестно какое.

Случайную величину Х будем предполагать непрерывной, принимающей свои возможные значения из интервала ( ).

Определение. Интегральной функцией распределения F(х) называется вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее х, т. е.

(А15)

Докажем некоторые свойства функции F(x).

1. Функция F(х) — неубывающая функция своего аргумента, т.е. если х₂ > х₁, то

Для доказательства свойства 1 разобьём интервал ( ) на два несовместных (не имеющих общих точек): ( ) и [ ). Тогда по теореме сложения несовместных событий

т.к.

(А16)

2.

(А17)

3.

Последние два свойства очевидны.

4. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение на интервале от α до β, равна приращению функции на этом интервале, т.е.

(А18)

Для доказательства разобьём интервал ( ) на два несовместных интервала: ( ) и [ ). Тогда по теореме сложения

или

Из последнего равенства непосредственно следует утверждение четвертого свойства.

§4. Плотность вероятности

По определению производной интегральной функции распределения

(А19)

В числителе правой части последнего выражения стоит вероятность, что случайная величина примет значение на интервале Δх, лежащем возле точки х. Ясно, что эта вероятность зависит от того, где взять эту точку х, т. е.

Если эту величину разделить на Δх и устремить Δх к нулю, то получим плотность вероятности (по аналогии линейной плотности массы, «размазанный» по оси х) случайной величины Х в точке х. Таким образом, если обозначить плотность вероятности ω(х), то из (А19)

(А20)

Отметим некоторые полезные свойства плотности вероятности ω(х).

1).

Это свойство сразу же следует из первого свойства интегральной функции распределения F(х) и выражения (А20).

2).

Для доказательства, найдём из (А20) F(х).

(А21)

Положив в (А21) и учтя, что , получим второе свойство.

3). Чтобы найти вероятность принятия случайной величиной значения на интервале (α, β), необходимо проинтегрировать плотность ω(х) на этом интервале, т. е.

(А22)

Для доказательства воспользуемся четвертым свойством функции F(х) и выражением (A21):

Что и требовалось доказать.

§5. Среднее значение

Среднее значение является важнейшей, хотя и грубой, характеристикой случайной величины X. Она характеризует среднее, ориентировочное значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины. Чтобы установить правило, по которому её вычисляют, рассмотрим сначала дискретную случайную величину X, характеризуемую рядом распределения

xi	x1	x2	…	xn
P(xi)	P(x1)	P(x2)	…	P(xn)

где x_i — возможные значения, которые принимает на опыте случайная величина X, а P(x_i) — их вероятности появления.

Пусть произведено большое число N измерений случайной величины Х так, что значение x₁ было наблюдено т₁ раз, х₂ — m₂ раз, ... x_n — m_n раз. При этом, очевидно

Среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины X, очевидно, равно:

(А23)

,

где — величина, характеризующая, как часто принимает в опыте значение x_i случайная величина X. Величину называют частотой события x_i. Можно доказать, что частота с вероятностью почти единица (т.е. достоверно) равна вероятности , если только число опытов (Теорема Бернулли). С учётом этой теоремы равенство (А23) можно переписать в виде:

(А24)

Величину (А24) называют средним значением случайной величины Х и обозначают . Таким образом, среднее значение дискретной случайной величины Х равно сумме произведений каждого из её возможного значения x_i на его вероятность Р(х_i).

В случае непрерывной случайной величины Х нетрудно получить аналогичное выражение для вычисления её среднего значения:

(А25)

Если некоторая случайная величина Y связана с X функциональной зависимостью , то среднее значение случайной величины Y, очевидно, находится по формуле

(А26)

К примеру, если , то

(А27)

141