§9 . Цикл Карно и его кпд

Один из основателей термодинамики ― французский ученый Карно ― пришел ко второму началу термодинамики (хотя не сформулировал его), изучая проблему возможного повышения к.п.д. тепловых машин. Тепловая машина практически тем выгоднее, чем больше ее к.п.д., определяемый отношением работы А, производимой машиной за цикл, к количеству теплоты Q₁, получаемой от нагревателя за цикл

(141)

Так как по первому началу термодинамики работа, совершенная за цикл, равна А=Q₁ – Q₂, где Q₂ ― абсолютное значение количества тепла, отдаваемого рабочим веществом за цикл, то определение к.п.д. тепловой машины можно записать в виде

(142)

Тепловая машина, которая имела бы к.п.д., равный единице, являлась бы вечным двигателем второго рода, ибо она превращала бы все тепло Q , заимствованное у нагревателя в работу, без передачи части тепла холодильнику: при =1 было бы Q₁ = А и Q₂ = 0. Невозможность такого двигателя по существу и была впервые установлена Карно.

Карно теоретически проанализировал работу идеальной тепловой машины, в которой рабочее вещество совершает обратимый круговой процесс, состоящий из двух изотермических и двух адиабатических расширений и сжатий, чередующихся между собой. Такой цикл, который состоит из двух обратимых изотермических и двух обратимых адиабатических процессов, называется циклом Карно и оказывается наиболее выгодным в отношении величины к.п.д. циклом.

Для осуществления цикла Карно необходимо иметь три тела: рабочее тело, при посредстве которого совершается работа, нагреватель постоянной температуры Т₁, сообщающий рабочему веществу тепло при его изотермическом расширении, и холодильник также постоянной температуры Т₂, принимающий от рабочего вещества тепло при его изотермическом сжатии. Для обратимости цикла он должен быть произведен таким образом, чтобы нигде не было соприкосновения тел с различными температурами. Это значит, что когда рабочее тело получает теплоту от нагревателя, оно должно иметь такую же, как и он температуру; строго говоря, температура рабочего тела должна быть на бесконечно малую величину меньше температуры нагревателя (иначе тепло не потечет от нагревателя к рабочему телу). Аналогично при передаче теплоты холодильнику температура рабочего тела должна быть равно температуре холодильника, точнее говоря, температура рабочего тела должна быть на бесконечно малую величину выше температуры холодильника. В противном случае, когда температура рабочего тела будет отличаться от температуры нагревателя или холодильника на конечную величину, возникает необратимый процесс теплопроводности, который будет приводить к бесполезной потере теплоты, так как этот процесс сам по себе не сопровождается совершением работы. Процесс теплопроводности приводит лишь к увеличению внутренней энергии тела, которому теплота передается, и к выравниванию температур, но он бесполезен для превращения теплоты в работу. Поскольку задачей, поставленной Карно, является получение максимальной работы, то ясно, что в рассматриваемом цикле такие процессы, приводящие к бесполезной потере теплоты, не должны допускаться.

Р ассмотрим цикл Карно более подробно, пользуясь диаграммой . Пусть первоначально рабочее вещество сжатое до некоторого давления Р₁ и объема V₁ , находится в контакте с нагревателем и, следовательно, имеет такую же, как и он, температуру Т₁ (точка 1 на рисунке 19). Процесс теплопроводности при этом не происходит, так как нет разности температур. Не происходит, значит, и передача тепла без совершения работы. Предоставим теперь возможность рабочему веществу медленно расширяться и перемещать какое-либо тело, к примеру, поршень, не прерывая его контакта с нагревателем. Расширение, следовательно, будет изотермическим и обратимым (кривая 12). В результате этого расширения рабочее вещество перейдет в состояние 2, характеризуемое параметрами Р₂, V₂ ,Т₁, при этом будет совершена некоторая работа А₁₂ и некоторое количество теплоты Q₁ будет отнято от нагревателя. Охладим теперь рабочее вещество до температуры холодильника Т₂, не приводя его в соприкосновение с холодильником до тех пор пока его температура не станет равной температуре холодильника. Для этого, изолировав рабочее вещество от нагревателя, дадим ему возможность адиабатически расширяться (кривая 23) до тех пор, пока оно не примет температуру холодильника Т₂ . На этом втором этапе вещество, расширяясь и перемещая, к примеру, поршень дополнительно совершает механическую работу А₂₃ за счет своей внутренней энергии: вследствие чего оно и охлаждается. После достигнутого таким образом охлаждения рабочего вещества приводим его в контакт с холодильником. На этом заканчивается первая половина цикла, за время которой рабочее тело совершило некоторую полезную работу.

Теперь необходимо вернуть рабочее вещество в исходное состояние, т.е., восстановить его первоначальное давление и температуру. Это значит, что рабочее тело должно быть сжато и приведено снова в контакт с нагревателем. Этот контакт по-прежнему не следует осуществлять, пока температура рабочего тела ниже температуры нагревателя. Поэтому возвращение к первоначальному состоянию тоже проводится в два этапа. Сначала рабочее вещество сожмем до некоторого состояния 4, не прерывая его контакта с холодильником, т.е. изотермически (кривая 34); при этом сжатии над рабочим веществом будет произведена работа А₃₄ <0 и некоторое количество тепла оно передает холодильнику. Затем, изолировав рабочее тело от холодильника, дополнительно сожмем его адиабатически так, чтобы оно нагрелось до температуры нагревателя (кривая 41). Состояние 4 при этом, разумеется, должно быть выбрано так, чтобы можно было адиабатическим сжатием вернуть тело в исходное состояние 1. При адиабатическом сжатии рабочее вещество нагревается за счет внешней работы А₄₁ <0, совершенной над ним. После того, как температура рабочего тела станет равной температуре нагревателя, приведем их в контакт, и цикл при этом завершается: рабочее тело находится в исходном состоянии и процесс может быть снова начат.

Рассмотренный круговой процесс называется циклом Карно. Он состоит, как видно, из двух изотермических и двух адиабатических расширений и сжатий. На всех стадиях этого цикла нигде не допускается соприкосновение двух тел с различными температурами и, таким образом, избегается возникновение необратимого процесса теплопроводности. Весь цикл проводится, следовательно, обратимым путем (для полной обратимости сами расширения и сжатия нужно вести очень медленно, так чтобы эти процессы были равновесными).

В результате цикла Карно рабочее тело совершает некоторую работу, графически определяемую площадью этого цикла и равную сумме работ на отдельных участках цикла (с учетом их знаков: А′=A′ , так как , а и ). Эта работа, однако, не равна тому количеству теплоты Q₁, которое рабочее тело получает от нагревателя. Из полученного от нагревателя тепла Q₁ некоторая его часть Q₂ отдается холодильнику при изотермическом сжатии рабочего вещества. В полезную работу, производимую рабочим веществом, преобразуется, следовательно, только часть тепла, полученного от нагревателя, равная Q₁ – Q₂=A.

Поскольку цикл Карно по определению является обратимым, то он может быть проведен и в обратном направлении через те же промежуточные состояния, но в обратном порядке. Результатом обратного цикла Карно будет не получение работы, а затрата работы извне и перенос за ее счет тепла от менее нагретого тела к более нагретому. При обратном цикле Карно рабочее тело в процессе изотермического расширения 43 отнимает от более холодного тела количество тепла Q₂ и передает горячему телу в процессе изотермического сжатия 21 количество тепла Q₁ = Q₂ +A. Если установка, работающая по прямому циклу Карно, служит для превращения теплоты в механическую работу, т.е. является тепловой машиной, то установка, действующая по обратному циклу Карно, является холодильной машиной. С ее помощью за счет внешней работы теплота отнимается от более холодного тела и передается телу с более высокой температурой.

Определим теперь к.п.д. цикла Карно, т.е. тепловой машины, работающей по циклу Карно, которую в дальнейшем будем называть обратимой машиной Карно. При расчете в качестве рабочего вещества, осуществляющего цикл Карно, выберем идеальный газ, а затем докажем, что к.п.д. обратимой машины Карно от природы рабочего вещества не зависит. Поэтому выводы, которые мы при этом получим, будут справедливы для любого рабочего вещества. Идеальный газ мы выбираем в качестве рабочего вещества только потому, что для него нам точно известны все необходимые для расчета соотношения

Будем исходить из определения к.п.д. тепловой машины в виде (2). В этой формуле Q₁ означает количество тепла, получаемое рабочим веществом за цикл от нагревателя, а Q₂ ― абсолютное значение количества тепла, отдаваемое рабочим телом холодильнику. В цикле Карно теплота Q₁ получается в процессе изотермического расширения 12, т.е. при постоянной температуре Т₁ (температуре нагревателя), а теплота отдается при изотермическом сжатии 34, т.е. при постоянной температуре Т₂ (температура холодильника). При адиабатических же расширении 23 и сжатии 41 теплота рабочим телом не получается и не отдается.

В случае идеального газа внутренняя энергия при изотермическом расширении или сжатии не изменяется, так как она зависит от температуры. Следовательно, по первому началу термодинамики количество тепла, получаемое идеальным газом от нагревателя при изотермическом расширении 12, равно совершаемой им при этом работе, т.е.

(143)

Количество же тепла , отдаваемое газом холодильнику, равно работе А₃₄, совершаемой над газом при его изотермическом сжатии 34:

,

откуда

(144)

Подставив эти значения Q₁ и Q₂ в формулу (142), найдем

(145)

Это выражение можно упростить, если воспользоваться соотношением между температурой и объемом идеального газа при адиабатическом процессе .

Применяя это соотношение к адиабате 23, имеем

Для адиабаты 14 имеем

Разделив первое из этих равенств на второе, получаем формулу

(146)

или

Следовательно, логарифмы этих отношений также равны, и поэтому могут быть сокращены в выражении (146) для .

Таким образом

(147)

Полученное выражение показывает, что коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по циклу Карно, определяется только температурами нагревателя и холодильника. Чем выше температура нагревателя Т₁ и чем ниже температура холодильника Т₂, тем больше к.п.д., т.е. тем большая часть тепла Q₁, полученного от нагревателя, превращается в работу А=Q₁ и тем меньше количество тепла , отдается холодильнику. К.п.д. обратимой машины Карно, как видно из (147), всегда меньше 1.Он мог бы равняться единице, т.е. вся полученная от нагревателя теплота могла бы быть превращена в работу, лишь в том случае, если бы мы располагали холодильником, температура которого равна абсолютному нулю. Поскольку такого холодильника нет, то, следовательно, обратимая машина Карно может превратить в работу только часть тепла, отнятого у нагревателя.

Сформулируем без доказательства теоремы Карно.

Теорема 1.

К. п. д. обратимой машины Карно не зависит от рода рабочего вещества, а определяется только температурами нагревателя T₁ и холодильника T₂

(148)

Теорема 2.

К. п. д. необратимой машины, работающей между данными нагревателем и холодильником, температуры которых постоянны, не может быть больше, чем к. п. д. обратимой машины Карно, работающей между такими же нагревателем и холодильником

(149)

Теорема 3.

Цикл Карно имеет наибольший к. п. д. по сравнению с любыми другими циклами (обратимыми или необратимыми), в которых максимальная и минимальная температуры равны соответственно температуре нагревателя и температуре холодильника цикла Карно, т. е.

(150)

Таким образом, на основании сформулированных теорем можно утверждать, что цикл Карно дает наибольший к. п. д. тепловых машин.

Так как к. п. д. любой тепловой машины по определению равен

(151)

,

где Q₁ и Q₂ ― полученное и отданное количества тепла за цикл соответственно, а к. п. д. цикла Карно

(152)

,

то неравенство (150) можно переписать в виде:

(153)

Неравенство (153) содержит в себе, как частный случай, формулировки второго начала термодинамики по Кельвину и по Клаузиусу.

Докажем, исходя из выражения (153), что вечный двигатель второго рода невозможен (формулировка второго начала по Кельвину). В самом деле, если бы его работа была возможна, то он не отдавал холодильнику тепла (Q₂ = 0) и из (153) следовало бы, что

(154)

Знак неравенства в (154) невозможен, так как T₁ >0 и T₂ >0. Равенство в (154) возможно только либо при T₂=0, либо при T₁ → ∞, что физически неосуществимо.

Также нетрудно доказать, исходя из неравенства (153), формулировку второго начала термодинамики по Клаузиусу. В этом случае система механической работы не производит (A = Q₁ – Q₂ = 0), т. е. , и из (153) следует, что T₁ > T₂.

Это означает, что при любом необратимом процессе температура тела отдающего тепло, должна быть больше температуры тела, получающего тепло. Или, что тоже самое, самопроизвольно, без совершения работы тепло переходит только от тела более нагретого к телу менее нагретому, но не наоборот.