Moldova

Оценки радиуса устойчивости многокритериальной булевой задачи с метриками Гёльдера в пространствах параметров.

Abstract. Проведен количественный анализ устойчивости многокритериальной линейной булевой задачи, состоящей в поиске множества Парето. Получены нижняя и верхняя оценки радиуса устойчивости задачи в случае, когда в критериальном пространстве и пространстве решений заданы две произвольные нормы Гёльдера. В качестве следствий получен ряд ранее известных результатов.

Mathematics subject classification: 90C09, 90C29, 90C31, 90C47.

Keywords and phrases: Многокритериальная булева задача, линейный векторный критерий, множество Парето, эффективные решения, радиус устойчивости задачи, метрика Гёльдера.

1 Introduction

Настоящая работа лежит в русле направлений, связанных с исследованием количественных характеристик устойчивости множества Парето многокритериальных задач дискретной оптимизации. Одна из таких характеристик, называемая обычно радиусом устойчивости задачи, определяется как предельный уровень возмущений ее параметров в метрическом пространстве, не приводящих к появлению новых оптимумов Парето (эффективных решений). Изучению различных видов устойчивости как скалярных (однокритериальных), так и векторных задач дискретной оптимизации посвящен ряд публикаций (см., например, [1–11]). Как правило, в этих работах исследование устойчивости ведется в предположении, что норма в пространстве изменяющихся параметров чебышевская (l1). Хотя имеется ряд работ (см., например, [12–22]), где получены количественные характеристики устойчивости решений с другими метриками. Данная работа продолжает начатые в [1, 6, 11, 15] исследования радиуса устойчивости множества Парето векторной линейной дискретной задачи и рассматривается случай, когда в критериальном пространстве и пространстве решений задаются две произвольные нормы Гёльдера.

В качестве следствий приводятся некоторые ранее известные результаты.

2 Problem statement and basic definitions.

Пусть Rm критериальное пространство, Rn – пространство реше-

ний, C – матрица размера m n со строками Ci = (ci1; ci2; :::; cin) 2 Rn; i 2 Nm = f1; 2; :::; mg; x = (x1; x2; :::; xn)T 2 X En; n > 2; E = f0; 1g;

jXj > 2: Пусть на множестве булевых векторов(решений) X задан линей-

1

ный векторный критерий

Cx = (C1x; C2x; :::; Cmx)T ! min :

x2X

Под m-критериальной булевой задачей Zm(C); C 2 Rm n; будем понимать задачу поиска множества Парето (множества эффективных решений)

Pm(C) = fx 2 X : X(x; C) = ?g;

где

X(x; C) = fx0 2 X : Cx > Cx0 & Cx 6= Cx0g:

В силу конечности X множество Парето Pm(C) не пусто при любой матрице

C 2 Rm n:

Возмущение элементов матрицы C будем осуществлять путем прибавления к ней матриц C0 из Rm n: Таким образом, возмущенная задача Zm(C + C0) имеет вид

(C + C0)x ! min;

x2X

а множество Парето такой задачи Pm(C + C0):

Для всякого натурального числа d в действительном пространстве Rd зададим метрику Гёльдера lp; p 2 [1; 1]; т.е. под нормой вектора y = (y1; y2; ...,yd) 2 Rd будем понимать число

Для любых p; q 2 [1; 1] в пространстве решений Rn и в критериальном пространстве Rm зададим соответственно метрики Гёльдера lp и lq. Тем самым, под нормой матрицы C 2 Rm n будем понимать норму вектора, составленного из норм ее строк C1; C2; :::; Cm; т.е.

jjCjjpq = jj(jjC1jjp; jjC2jjp; :::; jjCmjjp)jjq:

Легко видеть, что при любых p; q 2 [1; 1] верны неравенства

2

Кроме того, очевидно, что для вектора a = (a1; a2; :::; an)T 2 Rn с условием jaij = ; i 2 Nn; при любом числе p 2 [1; 1] справедливо равенство

В пространстве решений Rn наряду с нормой lp будем использовать сопряженную с ней норму lp0 ; где числа p и p0 связаны равенством

1=p + 1=p0 = 1:

При этом, как обычно, полагаем p0 = 1; если p = 1; и p0 = 1; если p = 1: Поэтому далее считаем, что областью изменений чисел p и p0 является отрезок [1; 1]; а сами числа связаны указанным выше условием. В этих обозначениях будем полагать, что 1=p = 0 при p = 1:

В дальнейшем нам понадобится следующее известное неравенство Гёльдера

где a = (a1; a2; :::; an) 2 Rn и b = (b1; b2; :::; bn)T 2 Rn:

Радиусом устойчивости задачи Zm(C); как обычно [1, 4, 6, 11, 15], назовем число

8

>sup ; если 6= ?;

<

m(p; q) =

>

:0; если = ?;

где

= f" > 0 : 8C0 2 pq(") (Ps(C + C0) Ps(C))g;

pq(") = fC0 2 Rm n : jjC0jjpq < "g:

Множество pq(") принято называть множеством возмущающих матриц. Таким образом, радиус устойчивости задачи Zm(C) это предельный уровень всех тех возмущений элементов матрицы C в метрическом пространстве Rm n; которые не приводят к появлению новых эффективных решений.

Очевидно, что при Pm(C) = X включение Pm(C + C0) Pm(C) выполняется при любых возмущающих матрицах C0 2 (") для всякого числа ". Поэтому радиус устойчивости такой задачи Zm(C) не ограничен сверху. Задачу Zm(C); для которой Pm(C) 6= X; будем называть нетривиальной.

3

3 Оценки радиуса устойчивости

Для нетривиальной задачи Zm(C) при любых p; q 2 [1; 1] положим

(p; q) = minf m(p); n1=pm1=q'm(1)g;

где

Pm(x; C) = Pm(C) \ X(x; C);

m(p) = minfjjCijjp : i 2 Nmg:

Теорема 1 При любых p; q 2 [1; 1] и m 2 N для радиуса устойчивостиm(p; q) нетривиальной задачи Zm(C) справедливы следующие оценки

Доказательство. Сначала покажем, что m(p; q) > 'm(p): Будем предполагать, что 'm(p) > 0 (в противном случае это неравенство очевидно).

Пусть C0 2 pq('m(p)) возмущающая матрица со строками Ci0; i 2 Nm: Тогда согласно определению числа 'm(p) для любого решения x 2= Pm(C) существует такое эффективное решение x0 2 Pm(x; C); что ввиду (1) выполняются неравенства

Отсюда, используя неравенство Гёльдера (3), находим

Это значит, что x 2= Pm(C + C0): Резюмируя, заключаем, что любое не эффективное решение задачи Zm(C) остается таковым и в любой возмущенной задаче Zm(C + C0):

Следовательно, Pm(C + C0) Pm(C) при любой возмущенной матрице

C0 2 pq('m(p)), т.е. m(p; q) > 'm(p).

Далее докажем неравенство

m(p; q) 6 n1=pm1=q'm(1):

4

Согласно определению числа 'm(1) существует такое решение x0 2= Pm(C), что для любого решения x 2 Pm(x0; C) найдется индекс k = k(x) 2 Nm; удовлетворяющий условию

Теперь, полагая " > n1=pm1=q'm(1); рассмотрим возмущающую матри-

цу C0 = [c0ij] 2 Rm n со строками Ci0; i 2 Nm; и элементами, которые задаются по правилу

где

'm(1) < < "=n1=pm1=q:

Отсюда согласно (2) получаем

jjCi0jjp = n1=p; i 2 Nm;

jjC0jjpq = n1=pm1=q;

Если X(x0; C + C0) = ?; то x0 2 Pm(C + C0):

Допустим теперь, что X(x0; C + C0) 6= ?: Тогда благодаря внешней

устойчивости множества Pm(C + C0) (см., например, [23] стр. 34) найдется решение x 2 P (x0; C + C0): Покажем, что x 2= Pm(C):

5

Если предположить, что x 2 Pm(C); то согласно (7) будет выполняться

включение

x 2 Pm(C)nPm(x0; C):

Поэтому, либо выполняется равенство

Cx = Cx0;

либо не выполняется неравенство

Cx 6 Cx0:

В первом случае ввиду (6) имеем

(Ci + Ci0)(x0 x ) < 0; i 2 Nm:

Во втором случае существует такой индекс l 2 Nm; что

Clx > Clx0:

Тогда, вновь используя (6), получаем

(Cl + Cl0)(x0 x ) < 0:

В результате и тот и другой случай противоречит включению x 2

Pm(x0; C + C0):

Резюмируя, заключаем, что при любом числе " > n1=pm1=q'm(1) гарантируется существование такой возмущающей матрицы C0 2 pq("); что найдется решение (x0 или x ), которое одновременно, не являясь эффективным решением задачи Zm(C); становится таковым в возмущенной задаче Zm(C + C0): Таким образом, справедлива формула

8" > n1=pm1=q'm(1) 9 C0 2 pq(") (Pm(C + C0) * Pm(C)):

Следовательно, верно соотношение

m(p; q) 6 n1=pm1=q'm(1) =

Наконец, докажем неравенство m(p; q) 6 m(p): Пусть x0 любое не эффективное решение задачи Zm(C); т.е. x0 2= Pm(C): Пусть индекс k 2 Nm таков, что

6

Строки Ci0 2 Rn; i 2 Nm; возмущающей матрицы C0 2 Rm n зададим по правилу

8

> Ci; если i = k;

<

Ci0 =

>

:0(n); если i 2 Nmnfkg;

где 0(n) = (0; 0; :::; 0) 2 Rn: Тогда, учитывая соотношение (11), получаем

Ck0(x0 x) = ( Ck)(x0 x) = jjx0 xjj1 Ck(x0 x);

а ввиду равенств (8) и (10) и неравенств (9) находим

jjC0jjpq = jjCk0jjp = jj Ckjjp 6 jj jjp + jjCkjjp =

= n1=p + m(p) < ":

Поэтому для каждого решения x 2 X n fx0g получаем

(Ck + Ck0)(x0 x) = jjx0 xjj1 < 0;

т.е. x 2= X(x0; C + C0); где C0 2 pq("): Но поскольку решение x0 2= X(x0; C + C0); то X(x0; C + C0) = ?: Это значит, что

x0 2 Pm(C + C0):

7

Поэтому, принимая во внимание x0 2= Pm(C); заключаем, что m(p; q) 6 " для любого числа " > m(p): Следовательно, m(p; q) 6 m(p); что вместе с ранее доказанным неравенством m(p; q) 6 n1=pm1=q'm(1) дает необходимую верхнюю оценку

m(p; q) 6 m(p; q):

Теорема 1 доказана.

4 Следствия

Из теоремы 1 непосредственно вытекает ряд следствий.

Следствие 1 [24]. 'm(p) 6 m(p; p) 6 (nm)1=p'm(1):

Следствие 3 [25]. 'm(p) 6 m(p; 1) 6 n1=p'm(1):

Следствие 4 [26]. 'm(1) 6 m(1; q) 6 m1=q'm(1):

Отметим, что в работе [26] построен класс задач Zm(C); для радиуса устойчивости которых справедлива формула

m(1; q) = m1=q'm(1); q 2 [1; 1];

указывающая на достижимость верхней оценки следствия 4.

О достижимости нижней границы, указанной в теореме 1, свидетельствует следующий известный результат.

Теорема 2 [15]. Если jPm(C)j = 1; то для любых чисел p; q 2 [1; 1] справедливо равенство

m(p; q) = 'm(p):

Радиус устойчивости скалярной задачи Z1(C)

Cx ! min; C 2 R1 n; X En;

x2X

8

обозначим через 1(p); p 2 [1; 1]:

Следствие 5. '1(p) 6 1(p) 6 n1=p'1(1):

Отметим, что в [25] указан такой класс скалярных линейных задач Z1(C); что при любом числе p 2 [1; 1] для радиуса устойчивости всякой задачи из этого класса справедлива формула

1(p) = n1=p'1(1):

Тем самым доказана достижимость верхней оценки следствия 5.

Из следствий 2 и 5 вытекает следующий известный результат.

Следствие 6 [3, 27].

1(1) = '1(1):

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Беларусского республиканского фонда фундаментальных исследований, проект Ф13К - 078.

9

References

[1]Emelichev V.A., Podkopaev D.P. On a quantitive measure of stability for a vector problem in integer programming. Comp. Math. and Math. Physics, 1998, 38, No. 11, 1727–1731.

[2]Chakravarti N., Wagelmans A.P.M. Calculation of stability radii for combinatorial optimization problem. Oper. Res. Lett., 1998, 23, No. 1, 1–7.

[3]Sotskov Yu. N., Leontev V. K., Gordeev E. N. Some concepts of stability analysis in combinatorial optimization. Discrete Appl. Math., 1995, 58, No. 2, 169–190.

[4] Sotskov Yu.N., Tanaev V.S., Werner F. Stability radius of an optimal schedule: a survey and recent developments. Industrial Applications of Combinatorial Optimization. Dordrecht, Kluwer, 1998, 72–108.

[5]Van Hoesel S., Wagelmans A. On the complexity of postoptimality analysis of 0–1 programs. Discrete Math. Appl., 1999, 91, No. 1–3, 251–263.

[6] Emelichev V.A., Girlich E., Nikulin Yu.V., Podkopaev D.P. Stability and regularization of vector problems of integer linear programming. Optimization, 2002, 51, No. 4, 645–676.

[7]Kozeratska L., Forbes J.F., Goebel R.G., Kresta J.V. Perturbed cones for analysis of uncertain multi-criteria optimization problems. Linear Algebra and its Appl., 2004, 378, No. 1, 203–229.

[8]Lebedeva T.T., Semenona N.V., Sergienko T.I. Stability of vector

problems of integer optimization: relationship with the stability of sets of optimal and nonoptimal solutions. Cybernetics and Systems Analysis, 2005, 41, No. 4, 551–558.

[9]Libura M., Nikulin Y. Stability and accuracy functions in multicriteria linear combinatorial optimization problems. Ann. of Oper. Res., 2006, 147, 255–267.

[10]Sotskov Yu.N., Dolgui A., Portmann M.C. Stability analysis of an optimal balance for an assembly line with fixed cycle time. European Journal Oper. Res., 2006, 168, No. 3, 783–797.

[11]Emelichev V., Podkopaev D. Quantitative stability analysis for vector problems of 0-1 programming. Discrete Optimization, 2010, 7, No. 1–2, 48–63.

10