Глава 2. Оcновы статической теории идеального газа

§1. Модель идеального газа

В газообразном состоянии плотность вещества мала, так что среднее расстояние между молекулами оказывается большим по сравнению с их размерами. К примеру, при атмосферном давлении и 0⁰С в 1м³ содержится число молекул

Считая их в среднем равномерно распределёнными в пространстве, получим, что на ребре куба длинной 1м располагается

Следовательно, среднее расстояние между молекулами воздуха м, что на порядок превышает диаметры самих молекул (см. табл. 1). Как мы знаем, на таких расстояниях взаимодействие между молекулами практически отсутствует. Из опыта известно, что минимальная потенциальная энергия взаимодействия молекул воздуха (N₂ и O₂) примерно равна Дж, а средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул . Поэтому собирание молекул воздуха в агрегаты происходит очень редко, а отдельные, случайно образующиеся агрегаты молекул быстро разбиваются при соударениях.

Таким образом, в достаточно разрежённом газе собственными размерами молекул можно пренебречь и принимать их за материальные точки. Кроме того, поскольку силы межмолекулярного взаимодействия быстро уменьшаются с расстоянием и становятся ничтожно малыми, когда молекулы находятся на расстояниях в несколько раз превышающих их линейные размеры, то в достаточно разреженном газе можно пренебречь также силами взаимодействия между молекулами. Из-за отсутствия взаимодействия газовые молекулы движутся прямолинейно до тех пор, пока не произойдет столкновение данной с другой молекулой или стенкой сосуда. В процессе столкновения молекулы, конечно, взаимодействуют друг с другом (они отталкиваются электрическими силами). Однако время этого взаимодействия (столкновения) много меньше времени между столкновениями, когда молекулы движутся практически без взаимодействия. Макроскопическую систему, состоящую из точечных материальных частиц конечной массы, которые взаимодействуют друг с другом только в процессе столкновений, а всё остальное время движутся свободно, называют идеальным газом.

Если газ находится в состоянии равновесия, то все направления скоростей молекул равновероятны. В противном случае существовало бы направление преимущественного движения молекул, и в этом направлении возник бы поток газа, т.е. газ не находился бы в равновесии.

§2. Основное уравнение кинетической теории газов для давления

Давление газа возникает в результате непрерывных ударов молекул о стенку сосуда. Чтобы вычислить это давление, выделим на стенке сосуда бесконечно малую площадку dS, направив ось Х системы координат перпендикулярно этой площадке. Чтобы найти число dN молекул, ударяющихся о площадку dS в течение времени dt, предположим, во-первых, что молекулы в сосуде могут двигаться лишь в направлении координатных осей ОХ, ОY, OZ, во-вторых, что абсолютные значения скоростей молекул дискретны: υ₁, υ₂, …, υ_i, …

Т огда, вследствие равновероятности направлений движения, всех молекул, заключенных в прямоугольном параллелепипеде с высотой υ_idt и площадью основания dS (его объем ) (рис.3), движется вдоль оси ОХ, а половина из них, т.е. всех молекул в объеме dV_i, ― в положительном направлении оси ОХ, т.е. к площадке dS, и за время dt достигают её.

Если число молекул в единице объема сосуда, имеющих скорости υ_i, обозначить n_i, то число этих молекул, ударяющихся о площадку dS за время dt

(13)

Так как все dN_i молекул движутся перпендикулярно площадке dS со скоростью υ_i, то упруго отразившись от неё, они будут иметь скорость –υ_i. Следовательно, изменение импульса каждой молекулы равно , где m₀ ― масса молекулы. В силу закона сохранения импульса стенка сосуда из-за действия одной молекулы изменит свой импульс на +2m₀υ_i, а из-за воздействия dN_i молекул ― на величину

(14)

Просуммировав выражение (14) по всем возможным дискретным скоростям, получим полное изменение импульса поверхности dS стенки сосуда за время dt

(15)

Разделив импульс dK на промежуток времени dt, получим, согласно второму закону Ньютона, силу, действующую на площадку dS:

(16)

Разделив обе части выражения (16) на величину dS, получим давление газа, оказываемое им на стенки сосуда

(17)

Умножим и разделим правую часть (17) на n ― число любых молекул в единице объёма сосуда с газом. В результате получим

(18)

где N_i ― число молекул в сосуде с газом, скорости которых равны υ_i, а N ― общее число молекул в газе.

При больших N отношение N_i / N равно вероятности P_i встретить молекулу в сосуде, имеющую скорость υ_i, а сумма, стоящая в правой части выражения (18), представляет собой (см. формулу (А24) приложения А) средний квадрат скорости молекул:

(19)

С учетом (19), выражение (18) примет вид

(20)

Выделив в правой части формулы (20) кинетическую энергию E_k поступательного движения молекулы, окончательно, получим

(21)

т.е. давление газа равно двум третям кинетической энергии поступательного движения всех молекул, содержащихся в единице объёма.

Как видно из соотношения (20) и (21), для нахождения величины давления газа нет необходимости знать скорости (энергии) всех его молекул, а достаточно определить лишь среднее значение квадрата скорости (энергии).