§3. Теплопроводность

С макроскопической точки зрения явление теплопроводности заключается в переносе количества тепла от слоя более нагретого к менее нагретому, продолжающийся до тех пор, пока температура во всем теле не выравняется. В молекулярно-кинетической же теории процесс теплопроводности объясняется тем, что молекулы из более нагретого слоя, где они имеют большую среднюю кинетическую энергию, проникая в менее нагретую область, передают при столкновениях молекулам этой области часть их кинетической энергии.

Пусть изменение температуры вещества происходит вдоль оси x, в то время как в плоскости перпендикулярной этой оси, температура постоянна. Опытным путем Фурье установил закон, согласно которому количество тепла, переносимое за время dt через площадку ds, перпендикулярную оси x, вдоль которой изменяется температура, пропорционально величине площадки, времени переноса и градиенту dT/dx температуры, т.е.

(233)

Знак минус в (233) означает, что тепло переносится в сторону убывания температуры. Как видно из выражения (233), коэффициент теплопроводности æ численно равен количеству тепла, переносимого в единицу времени через единичную площадку при градиенте температуры, равном единице. В системе СИ коэффициент теплопроводности имеет размерность Вт/(м^.К). Закон Фурье справедлив для веществ, находящихся в любых агрегатных состояниях.

Рассмотрим задачу о вычислении коэффициента æ для газов в области температур, где справедлива классическая теория. Переносимой величиной  при теплопроводности является, очевидно, средняя кинетическая энергия молекулы, т.е. ; суммарной переносимой величиной является количество теплоты, т.е. dФ= Q. Поэтому общее уравнение переноса (232) в этом случае примет вид

(234)

Как мы знаем, средняя кинетическая энергия молекулы

(235)

где m₀ — масса молекулы, — удельная теплоемкость газа. Подставляя (235) в (234), получим

(236)

где  = nm₀ — плотность газа. Сравнение формулы (236) с законом Фурье (233) дает для коэффициента теплопроводности æ следующее выражение

(237)

Пользуясь формулой (237), выясним зависимость æ от давления и температуры. Из всех величин, входящих в (237) только плотность и средняя длина свободного пробега зависят от давления: первая из них пропорциональна давлению, вторая — обратно пропорциональна давлению газа. Поэтому величина æ не зависит от давления, что подтверждается экспериментом.

Выясним зависимость коэффициента теплопроводности от температуры при постоянной концентрации (или плотности) газа. По классической теории теплоемкость не зависит от температуры, средняя же скорость пропорциональна , поэтому из (237) следует, что при постоянной плотности газа коэффициент теплопроводности газов растет с повышением температуры пропорционально .

§4. Вязкость

Явление внутреннего трения (или вязкости) в газах (так же как и в жидкостях) заключается в выравнивании скоростей движения различных слоев газа (или жидкости), если эти скорости различны и газ (или жидкость) предоставлен самому себе. Это выравнивание происходит потому, что из слоя газа с большей (меньшей) скоростью переносится импульс к слою, движущемуся с меньшей (большей) скоростью.

Пусть изменение скорости движения газа (или жидкости) происходит в направлении оси x, а сама скорость течения газа направлена перпендикулярно этой оси. Тогда, как показывает опыт, импульс переносимый за время dt через площадку ds, перпендикулярную этой оси, определяется уравнением

(238)

где du/dx – градиент скорости вдоль оси x, характеризующий быстроту изменения скорости вдоль этой оси. Знак минус означает, что импульс переносится в направлении уменьшения скорости. Коэффициент  называется коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом вязкости. Физический смысл коэффициента вязкости заключается в том, что он численно равен импульсу, который переносится в единицу времени через единичную площадку при градиенте скорости равном единице. В системе СИ коэффициент вязкости измеряется в кг/(м^.с)=Па^.с. При переносе импульса от слоя к слою происходит изменение импульса этих слоев: импульс одного слоя увеличивается, а другого — уменьшается. Это значит, что на каждый из слоев действует сила, равная изменению импульса в единицу времени. Поэтому уравнение (238) можно представить также в виде

(239)

г де dF — сила, действующая на площадку ds поверхности, разделяющей два соседних слоя газа или жидкости. Эта сила в одном из смежных слоев направлена по течению газа, а в другом – навстречу, т.е. она направлена по касательной к элементу ds поверхности, причем на слой газа, прилегающий со стороны меньших скоростей, она действует ускоряющим образом, а на слой газа, прилегающий со стороны больших скоростей, — тормозящим образом. Таким образом, рассматриваемая сила действует внутри газа между отдельными его слоями, движущимися друг относительно друга. Поэтому ее называют силой внутреннего трения. Коэффициент вязкости  можно, согласно уравнению (239), определить и как величину, численно равную силе внутреннего трения, действующей на единицу площади поверхности, параллельной скорости течения газа или жидкости, при градиенте скорости, равном единице. Зависимость силы внутреннего трения от градиента скорости и величины площади, выражаемая уравнением (239), была установлена эмпирически Ньютоном, поэтому уравнение (239) известно под названием закона Ньютона для вязкого трения.

С точки зрения молекулярно-кинетической теории явление внутреннего трения в газах заключается в следующем. В текущем газе на скорость беспорядочного теплового движения молекул  накладывается переносная скорость u, т.е. скорость макроскопического движения газа, которая одинакова для всех молекул данного слоя (текущего с определенной скоростью) и различна для молекул различных слоев. С этой скоростью связан импульс m_ou, которым обладает каждая молекула данного слоя. Такой импульс условимся называть упорядоченным. Молекулы, перелетая благодаря хаотическому тепловому движению из более быстрого слоя в более медленный, приносят с собой большой упорядоченный импульс, который при столкновениях передается молекулам более медленного слоя, вследствие чего он ускоряется. Обратно, молекулы, попадающие из более медленного слоя в более быстрый слой, приносят меньший упорядоченный импульс, вызывая тем самым замедление этого слоя. Таким образом, согласно кинетической теории, сущность внутреннего трения в газах состоит в переносе молекулами упорядоченного импульса, т.е. величины m_ou. Заменяя в общем уравнении(232) переноса  на m₀u и dФ на dK, получаем следующее уравнение внутреннего трения в газах, т.е. уравнение переноса импульса:

(240)

Сравнение этого уравнения с уравнением (238) дает следующее выражение для коэффициента вязкости газов:

(241)

Из выражения (241) следует, что коэффициент вязкости газов, так же как и коэффициент теплопроводности, не должен зависеть от давления, так как произведение от давления не зависит. Опыты по измерению вязкости газов в довольно широком диапазоне давлений подтверждает этот вывод. Лишь при весьма высоких и весьма низких давлениях начинает проявляться зависимость  от давления.

Коэффициент вязкости, также как и коэффициент теплопроводности, должен зависеть от температуры, так как в выражении для  входит средняя скорость теплового движения молекул, зависящая от температуры по закону . Значит, коэффициент вязкости газа также должен расти с повышением температуры пропорционально . В действительности вязкость растет несколько быстрее, чем по закону . Это связано с тем, что с повышением температуры не только растет тепловая скорость молекул, но и уменьшается их эффективный диаметр и поэтому растет длина свободного пробега молекул .