Пример и методические указания к выполнению работы.

Пример приводится на условных данных, поэтому не дается интерпретация полученных параметров. Четвертый пункт задания студентам сделать самостоятельно, опираясь на теоретический материал и практические примеры, приведенные в лекции.

Пусть имеются условные данные (табл.1):

1. Исходные данные

№ п/п	Y1	Y2	X1	X2
1	2	10	150	1
2	3	12	200	2
3	5	15	150	4
4	4	16	140	3
5	6	25	300	5
6	3	16	190	2
7	5	20	250	5
8	8	30	450	9
9	3	11	170	2
В среднем	4,3	17,2	222,2	3,7

Пусть переменная У₁ зависит от У₂ и Х₁, а У₂ – от У₁ и Х₂.

1. Спецификация модели. Имеем две эндогенные переменные – У₁ и У₂ и две экзогенные – Х₁ и Х₂.

Найдем отклонения от средних значений по каждой переменной (табл. 2):

2. Отклонения от средних уровней

№ п/п	y1	y2	x1	x2
1	-2,3	-7,2	-72,2	-2,7
2	-1,3	-5,2	-22,2	-1,7
3	0,7	-2,2	-72,2	0,3
4	-0,3	-1,2	-82,2	-0,7
5	1,7	7,8	77,8	1,3
6	-1,3	-1,2	-32,2	-1,7
7	0,7	2,8	27,8	1,3
8	3,7	12,8	227,8	5,3
9	-1,3	-6,2	-52,2	-1,7

Тогда структурная форма системы одновременных уравнений:

2. Идентификация модели.

Проверим систему на идентификацию по счетному и ранговому правилам.

Счетное правило:

В первом уравнении системы отсутствует только одна экзогенная переменная х₂, тогда:

n_x=1, n_y=2 и 1+n_x= 2 = n_y=2, то есть первое уравнение идентифицируемо;

Во втором нет переменной х₁:

n_x=1, n_y=2 и 1+n_x= 2 = n_y=2, второе уравнение также идентифицируемо.

Ранговое правило:

В первом уравнении системы отсутствует только одна экзогенная переменная х₂. Составим матрицу коэффициентов при отсутствующих переменных (х₂):

Уравнение	х2
2	а22

Коэффициент при х₂ во втором уравнении не равен нулю (a₂₂), ранг матрицы равен 1, он равен числу экзогенных переменных без одного (2-1=1). Следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Аналогичным образом, во втором уравнении отсутствует только переменная х₁ , коэффициент при которой в первом уравнении не равен нулю (а₁₁). Второе уравнение также точно идентифицируемо.

Поскольку идентифицируемо каждое уравнение системы, модель в целом идентифицируема и может быть решена косвенным методом наименьших квадратов.

3. Оценка параметров модели.

Перейдем от структурной к приведенной форме, для этого выразим из первого уравнения у₂:

Тогда система одновременных уравнений будет иметь вид:

Приравняем правые части и выразим у₁:

;

;

.

Получившееся уравнение является первым уравнением системы в приведенной форме.

Аналогичным образом поступим для получения второго уравнения. Из второго уравнения структурной формы выразим y₁:

.

Подставим правую часть тождества в первое структурное уравнение:

.

Выразим y₂:

Таким образом, мы получили систему приведенных уравнений:

Обозначим для удобства восприятия получившиеся нелинейные коэффициенты при независимых переменных как :

Получим систему приведенных уравнений:

Решим систему приведенных уравнений, используя данные табл. 2, методом наименьших квадратов в MS EXCEL:

Теперь нужно перейти к структурной форме, т.е.:

Сопоставив первое уравнение приведенной и структурных форм видим, что для перехода к структурному виду следует переменную х₂ представить как комбинацию переменных у₂ и х₁. Это можно сделать, выразив х₂ из второго уравнения приведенной формы:

.

Подставим х₂ в первое уравнение системы приведенной формы:

Мы получили первое уравнение системы структурной формы.

Теперь выразим переменную х₁ из первого уравнения приведенной формы:

и подставим х₁ во втрое уравнение системы приведенной формы:

Получим, таким образом, второе уравнение системы структурной формы:

Мы получили систему одновременных, структурных уравнений:

Чтобы перейти от отклонений переменных от средних к их значениям (от значений табл. 2. к табл. 1), нужно определить свободные члены для каждого из уравнений. Рассчитываются они по формулам:

Подставим средние значения (табл. 1) и коэффициенты при переменных в структурной форме:

Тогда система структурных уравнений примет вид:

Полученные оценки являются состоятельными и несмещенными, в отличие от оценок метода наименьших квадратов, если применить его к каждому уравнению в отдельности, то получим уравнения множественной регрессии:

Как видно, различия значительны, особенно во втором уравнении, где имеется даже несовпадение знаков коэффициента при у₁.