1.2. Выборочная ковариация.

Выборочная ковариация является мерой взаимосвязи между двумя переменными. Данное понятие будет проиллюстрировано на простом примере. Со времен нефтяного кризиса 1973 г. реальная цена на бензин, то есть цена бензина, отнесенная к уровню общей инфляции, значительно возросла, и это оказало заметное воздействие на потребительский спрос. В табл. 1.1 (слайд) приведены данные о потребительском спросе и реальных ценах после нефтяного кризиса. Реальная цена вычислялась путем деления индекса номинальной цены на общий индекс потребительских цен и умножения результата на 100 (1972г.=100). Индекс реальной цены в табл. 1.1 (р) показывает повышение цены бензина относительно общей инфляции, начиная с 1972г.

На рис. 1.1 эти данные показаны в виде диаграммы рассеяния. Можно видеть некоторую отрицательную связь между потребительским спросом на бензин и его реальной ценой.

Показатель выборочной ковариации позволяет выразить данную связь единым числом. Для его вычисления мы сначала находим средние (для рассматриваемого выборочного периода) значения цены и спроса на бензин. Обозначив индекс реальной цены на бензин через р и спрос (млрд.долл.) - через у, мы, таким образом, определяем и , которые для этой выборки оказываются равными соответственно 143,36 и 26,27. Затем для каждого года вычисляем отклонение величин р и у от средних и перемножаем их. Проделаем это для всех годов выборки и возьмем среднюю величину, она и будет выборочной ковариацией (табл.1.1).

Определение

При наличии п наблюдений двух переменных (х и у) выборочная ковариация между ними задается формулой

1.

Для различения ковариаций выборочной и генеральной совокупностей мы будем использовать обозначение Cov (x,y) c прописной буквы С применительно к выборочной ковариации и рор. соv (x,y ) - для ковариации между х и у в генеральной совокупности. Иногда последнюю будет удобно обозначать как _ху. Аналогичные обозначения мы используем и для дисперсии: Var (x) - применительно к выборочной дисперсии и рор.var (x) - к дисперсии для генеральной совокупности (теоретической).

Таблица 1.1

Наблюдения	р	у	z
1973	103,5	26,2	865,3	-39,86	-0,07	2,79
1974	127,0	24,8	858,4	-16,36	-1,47	24,05
1975	126,0	25,6	875,8	-17,36	-0,67	11,63
1976	124,8	26,8	906,8	-18,56	0,53	-9,84
1977	124,7	27,7	942,9	-18,66	1,43	-26,68
1978	121,6	28,3	988,8	-21,76	2,03	-44,17
1979	149,7	27,4	1015,5	6,34	1,13	7,16
1980	188,8	25,1	1021,6	45,44	-1,17	-53,16
1981	193.6	25,2	1049,3	50,24	-1,07	-53,76
1982	173,9	25,6	1058,3	30,54	-0,67	-20,46
Сумма	1433,6	262,7	9582,7	х	х	-162,44
Среднее	143,36	26,27	958,2	х	х	-16,24

В примере с бензином вы должны заметить, что ковариация отрицательна. Так и должно быть. Рассмотрим причину этого. Диаграмма рассеяния наблюдений на рис.1.1 делится на четыре части вертикальной и горизонтальной линиями, проведенными через и соответственно. Пересечение этих линий образует точку, которая показывает среднюю цену и средний спрос за период времени, соответствующий нашей выборке. Используя аналогию из физики, можно сказать, что эта точка является центром тяжести совокупности точек, представляющих наблюдение.

Для любого наблюдения, лежащего в квадранте А, значения реальной цены и спроса выше соответствующих средних значений. Для данных наблюдений как ( ), так и у- являются положительными, а поэтому положительно и произведение этих наблюдений. Таким образом, наблюдения в квадранте А дают положительный вклад в ковариацию.

Далее рассмотрим квадрант В. Здесь наблюдения имеют реальную цену ниже среднего , а спрос выше среднего. Поэтому наблюдения данного квадранта вносят отрицательный вклад в ковариацию. В квадранте С как цена, так и спрос ниже своих средних значений, поэтому отклонения этих переменных от своих средних будут отрицательны, а их произведение - положительно. Наконец, в квадранте D реальная цена выше средней, а спрос выше среднего и можно понять, что квадрант D вносит отрицательный вклад в ковариацию.

Поскольку выборочная ковариация является средней величиной произведения (р- для 10 наблюдений, она будет положительной, если положительные вклады будут доминировать над отрицательными и отрицательной, если отрицательные вклады будут доминировать над положительными. Положительные вклады исходят из квадрантов А и С, и ковариация будет, скорее всего, положительной, если основной разброс пойдет по наклонной вверх. Точно также отрицательные вклады исходят из квадрантов B и D. Поэтому, если основное рассеяние идет по наклонной вниз, как в этом примере, то ковариация будет, скорее всего, отрицательной.