1.6. Коэффициент корреляции.

В этой лекции большое внимание уделено ковариации. Это объясняется тем, что она весьма удобна с математической точки зрения, а вовсе не тем, что ковариация является особенно хорошим измерителем взаимосвязи между величинами (ниже мы рассмотрим ее недостатки ). Более точной мерой зависимости является тесно связанный с ней коэффициент корреляции.

Подобно дисперсии и ковариации, коэффициент корреляции имеет две формы - теоретическую и выборочную. Теоретический коэффициент корреляции традиционно обозначается греческой буквой р, которая произносится как "ро" и соответствует латинской "r". Для переменных х и у этот коэффициент определяется следующим образом:

_х,у = 19.

Если х и у независимы, то  равно нулю, так как равна нулю теоретическая ковариация. Если между переменными существует положительная зависимость, то _xy , а следовательно, и _ху будут положительными. Если существует строгая положительная линейная зависимость, то _ху примет максимальное значение, равное 1. Аналогичным образом при отрицательной зависимости _ху будет отрицательным с минимальным значением -1.

Выборочный коэффициент корреляции r определяется путем замены теоретических дисперсий и ковариаций в выражении «19» на их несмещенные оценки. Мы показали, что такие оценки могут быть получены умножением выборочных дисперсий и ковариации на п / (п-1). Следовательно,

20.

Множители п / (п-1) сокращаются, поэтому можно определить выборочную корреляцию как

21.

Подобно величине  , r имеет максимальное значение, равное единице, которое получается при строгой линейной положительной зависимости между выборочными значениями х и у (когда на диаграмме рассеяния все точки лежат на восходящей прямой линии). Аналогичным образом r принимает минимальное значение -1, когда существует линейная отрицательная зависимость (точки лежат точно на нисходящей прямой линии). Величина r =0 показывает, что зависимость между наблюдениями х и у в выборке отсутствует. Разумеется, тот факт, что r =0 , необязательно означает, что  = 0 , и наоборот.

Иллюстрация

Для иллюстрации вычисления выборочного коэффициента корреляции мы используем пример о спросе на бензин из раздела 1. Мы уже вычислили Cov (р,y) (см. табл.1), которая составляет -16,24, поэтому нам теперь необходимы только Var (p) и Var (y).

По данным табл. 1 можно найти, что

Var (p) = (p - = х 8885,75 = 888,58 и

Var (y) = ( y - = 13,30 / 10 = 1,33. Следовательно,

r =

Коэффициент корреляции является более подходящим измерителем зависимости, чем ковариация. Основная причина этого заключается в том, что ковариация зависит от единиц, в которых измеряются переменные х и у, в то время как коэффициент корреляции есть величина безразмерная. Это будет показано для выборочного коэффициента корреляции.

Возвращаясь к примеру со спросом на бензин, мы исследуем, что может случиться, когда при вычислении индекса реальных цен в качестве базового года используется 1980 вместо 1972г. В этом случае ковариация изменится, а коэффициент корреляции - нет.

При использовании 1972 г. в качестве базового года индекс реальных цен для 1980г. составил 188,8. Если теперь принять этот индекс за 100 для 1980г., то нужно пересчитать ряды путем перемножения на коэффициент 100/188,8 = 0,53. Новый ряд индексов реальной цены на бензин обозначим р¹.

Величина р¹ численно меньше, чем р.

Так как каждое отдельное наблюдение ряда цен было пересчитано с коэффициентом 0,53, то отсюда следует, что и среднее значение для р¹ пересчитывается с этим же коэффициентом. Следовательно, в году t

р¹- = 0,53 p¹ - 0,53

Это означает, что в году t

и, следовательно, Cov (p¹,y) = 0,53 Cov (p , y). Однако на коэффициент корреляции это изменение не повлияет. Коэффициент корреляции для р¹ и у будет равен

Числитель дроби был умножен на 0,53, но на ту же величину был умножен и знаменатель , так как Var (p¹) = 0,53² Var (p). (Необходимо иметь в виду, что когда вы умножаете переменную величину на постоянную, ее дисперсия умножается на эту постоянную в квадрате.) Знаменатель умножается на 0,53 , а не на 0,53², так как из Var (p¹) извлекается квадратный корень.