Контрольные вопросы к защите

1. Что такое автокорреляция уровней временного ряда?

2. Дайте определение тренда.

3. Перечислите основные виды трендов.

4. Какова интерпретация линейного тренда?

5. Что такое ложная корреляция и как ее избежать.

6. Перечислите основные методы исключения тенденции, назовите их достоинства и недостатки.

7. Какова методика построения модели регрессии по первым разностям?

8. Какова методика построения уравнения регрессии с учетом фактора времени?

9. Какова методика построения уравнения регрессии по отклонениям от трендов?

10. Какова интерпретация параметров в модели с включенным фактором времени?

11. Раскройте понятие автокорреляции в остатках.

12. С какой целью используется критерий Дарбина – Уотсона? Изложите алгоритм его применения.

Способ оценки результатов

№ п/п	Элементы выполнения работы и усвоения теоретического материала	Максимальный балл
1	Расчетная часть работы выполнена корректно и полностью	2
2	Сделаны подробные выводы, в которых отражены выявленные закономерности	1
3	Защита работы	1
4	Соблюдение сроков защиты	1
Итого	х	5

Лабораторная работа № 11.

Построение аддитивной модели временного ряда

Модульная единица 6.

Требования к содержанию, оформлению и порядку выполнения:

Теоретическая часть.

Аддитивной моделью временного ряда называется такая модель, где уровни ряда представлены как сумма трендовой (Т), сезонной или циклической (S) и случайной (Е) компонент: у_t=Т+S+Е. Построению аддитивной модели обычно предшествует анализ структуры временного ряда, то есть определение наличия или отсутствия этих компонент в ряду динамики. Для этих целей строят автокорреляционную функцию. Если коэффициент автокорреляции первого порядка существенно отличен от нуля, то в ряду динамики есть тенденция, если самым высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка k, то в ряду есть цикличность в k периодов времени. Построение аддитивной модели сводится к количественному определению указанных компонент для каждого уровня ряда, определению прогнозных уровней как _t=Т+S и оценке качества модели.

Общая постановка задачи: по предложенному варианту исходных данных выявить структуру ряда динамики, построить аддитивную модель временного ряда, оценить качество модели с помощью коэффициента детерминации R².

Список индивидуальных данных:

Год	Квартал года	Варианты
		1	2	3	4	5
		Экспорт страны, млрд. долл.	Прибыль компании, тыс. долл.	Производство молока,тыс. т	Потребление электроэнергии, тыс. кВт.-ч	Товаро-оборот фирмы, млн. руб.
1	I	409	72	4,93	7,0	327
	II	474	100	9,11	5,4	316
	III	577	90	8,99	6,0	385
	IV	600	64	5,25	10,0	420
2	I	564	70	5,85	8,2	376
	II	675	92	10,78	5,8	450
	III	631	80	10,35	7,0	421
	IV	711	58	5,50	11,0	495
3	I	574	62	5,96	9,0	383
	II	709	80	10,95	6,6	473
	III	731	68	10,83	7,4	487
	IV	860	48	5,73	12,0	590
4	I	698	52	6,08	10,0	465
	II	689	60	11,86	7,6	459
	III	753	50	11,49	8,0	512
	IV	799	30	6,22	11,8	595

Пример выполнения работы.

Дана динамика производства яиц в регионе по кварталам года.

1. Определим структуру ряда динамики, для чего построим автокорреляционную функцию. Для этого необходимо скопировать исходный ряд динамики, сдвинув его на одну дату вниз. Затем в главном меню программы Excel выбрать Сервис/ Анализ данных/ Корреляция. В диалоговое окно вода данных ввести образовавшиеся пары наблюдений (их будет на единицу меньше, чем уровней). Полученный коэффициент корреляции будет представлять собой коэффициент автокорреляции первого порядка. Повторить описанную процедуру, сдвинув ряд динамики последовательно на две, три и более дат. Результаты проведенного анализа представлены в таблице 1.

Таблица 1. Автокорреляционная функция временного ряда

Лаг	Коэффициент автокорреляции
1	0,365
2	-0,240
3	0,342
4	0,990

Значение коэффициента автокорреляции первого порядка значимо отличается от нуля, что указывает на наличие тенденции в ряду динамики. Самым высоким по значению оказался коэффициент автокорреляции 4-ого порядка, следовательно, в ряду динамики ярко выражена цикличность в 4 периода времени (4 квартала).

2. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

а) просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала, каждый раз сдвигая период осреднения на один квартал, и определим условные годовые объемы производства (табл.2, графа 4);

б) разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние

(графа 5). Отметим, что найденные таким образом средние уровни уже не содержат сезонной компоненты;

в) средние уровни в рядах динамики должны относиться к середине периода осреднения (между вторым и третьим кварталом, между третьим и четвертым и т.п.), поэтому приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени. Для этого найдем средние из двух соседних скользящих средних – центрированные скользящие средние (графа 6).

Таблица 2. Расчет оценок сезонной компоненты

№ года	№ квартала	Уt , млн. шт.	Скользящая сумма за 4 квартала	Средняя скользящая	Центрированная средняя скользящая ( )	Оценка сезонной компоненты ( Si)
1	2	3	4	5	6	7
1	I	7,51	-	-	-	-
	II	9,12	-	-	-	-
			33,28	8,32
	III	9,13			8,41	0.72
			34,03	8,51
	IV	7,52			8,63	-1.11
			34,94	8,74
2	I	8,26			8,85	-0.59
			35,85	8,96
	II	10,03			9,06	0.97
			36,60	9,15
	III	10,04			9,22	0.82
			37,18	9,29
	IV	8,27			9,38	-1.11
			37,88	9,47
3	I	8,84			9,56	-0.72
			38,61	9,65
	II	10,73			9,73	1.00
			39,19	9,80
	III	10,77			9,88	0.89
			39,89	9,97
	IV	8,85			10,05	-1.2
			40,54	10,14
4	I	9,54			10,25	-0.71
			41,45	10,36
	II	11,38			10,44	0.94
			42,06	10,52
	III	11,63	-	-	-	-
	IV	9,51	-	-	-	-

3. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (табл.2, графа 6). Используем эти оценки для расчета сезонной компоненты S в аддитивной модели (табл.3). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты S_i . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются, то есть сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Таблица 3. Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели

Показатели	Год	№ квартала
		I	II	III	IV
	1	-	-	0,72	-1.11
	2	-0,59	0,97	0,82	-1,11
	3	-0,72	1,00	0,89	-1,20
	4	-0,71	0,94	-	-
Итого за i-ый квартал (за все годы)	Х	-2,02	2,91	2,43	-3,42
Средняя оценка сезонной компоненты за все годы,	Х	-0,67	0,97	0,81	-1,14
Скорректированная сезонная компонента S	Х	-0,66	0,98	0,82	-1,14

Для данной модели имеем:

-0,67 + 0,97 + 0,81 – 1,14 = - 0,03.

Определим корректирующий коэффициент:

k = - 0.03 / 4 = - 0,008.

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k:

S = - k.

Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:

-0,66+0,98+0,82-1,14=0.

Занесем полученные значения S в таблицу 4 (графа 3) для соответствующих кварталов каждого года.

4. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины Т +Е= у_t – S (гр.4). Эти значения рассчитываются для каждого периода времени (квартала) и содержат только тенденцию и случайную составляющую.

Таблица 4. Расчет выравненных значений и ошибок Е в аддитивной модели

t	yt=T+S+E	S	Т +Е = = уt – S	T	=T+S	E= yt – -( T+S)	E2
1	2	3	4	5	6	7	8
1	7,51	-0,66	8,17	8,15	7,49	0,018	0,0003
2	9,12	0,98	8,14	8,34	9,32	-0,202	0,0407
3	9,13	0,82	8,31	8,53	9,35	-0,220	0,0485
4	7,52	-1,14	8,66	8,72	7,58	-0,059	0,0035
5	8,26	-0,66	8,92	8,91	8,25	0,012	0,0002
6	10,03	0,98	9,05	9,10	10,08	-0,046	0,0022
7	10,04	0,82	9,22	9,29	10,11	-0,065	0,0042
8	8,27	-1,14	9,41	9,47	8,33	-0,064	0,0041
9	8,84	-0,66	9,50	9,66	9,00	-0,162	0,0264
10	10,73	0,98	11,71	9,85	10,83	-0,101	0,0102
11	10,77	0,82	9,95	10,04	10,86	-0,090	0,0081
12	8,85	-1,14	9,99	10,23	9,09	-0,238	0,0569
13	9,54	-0,66	10,2	10,42	9,76	-0,217	0,0472
14	11,38	0,98	10,4	10,61	11,59	-0,206	0,0424
15	11,63	0,82	10,81	10,79	11,61	0,0154	0,0002
16	9,51	-1,14	10,65	10,98	9,84	-0,333	0,1111
Сумма							0,4061

5. Определим трендовую компоненту Т в данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (Т+Е) с помощью линейного тренда (методика рассмотрена ранее). Результаты аналитического выравнивания следующие:

константа 7,964

коэффициент регрессии 0,188

R-квадрат 0,758

число наблюдений 16

Таким образом, линейный тренд имеет вид:

Т = 7,964 + 0,188 t

Подставляя в это уравнение порядковые номера кварталов (t = 1, … 16), мы найдем значение трендовой компоненты для каждого периода времени.

6. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели =T+S . Для этого прибавим к уровням Т значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (графа 6).

7. Расчет ошибки (остатка) в каждом случае производится по формуле

E= y_t - ( T+S)

Для оценки качества построения модели можно использовать сумму квадратов полученных абсолютных ошибок, что дает нам объем остаточной вариации. Для нашей модели . Для нахождения общего объема вариации уровней ряда определим дисперсию y_t с помощью программы Excel (Вставка функций / Статистические / Диспр): .Умножив дисперсию на число наблюдений, мы получим общий объем вариации уровня ряда W_общ. = 16 х 1,48715 = 23,79. Остаточная вариация по отношению к общей сумме квадратов отклонений составит всего 1,7% (0,406/23,79х100), соответственно коэффициент детерминации R² = 0,983, что свидетельствует о высоком качестве модели и возможности использования ее для целей прогнозирования.