4.3.3. Степенная функция.

Рассмотрим далее функции вида

у = х ^ (4.11)

которые являются нелинейными как по параметрам, так и по переменным. Данное соотношение может быть преобразовано в линейное уравнение путем использования логарифмов, знакомых вам из курса математики. Ниже приведем основные свойства логарифмов, которые помогут вам в преобразованиях нелинейных уравнений.

Основные правила гласят :

1. Если у = х z , то log y = log x + log z .

2. Если y = x / z , то log y = log x - log z.

3. Если y = x ⁿ, то log y = n log x.

Эти правила могут применяться вместе для преобразования более сложных выражений. Например, если у =  х ^ , то по правилу 1 :

log y = log  + log x ^ и по правилу 3

= log  +  log x.

Если обозначить у¹ = log (y) , z = log x и  ¹ = log  , то уравнение (4.11) можно переписать в следующем виде:

у ¹ = ¹ +  z (4.12)

Процедура оценивания регрессии теперь будет следующей. Сначала вычислим у ¹ и z для каждого наблюдения путем взятия логарифмов от исходных значений. Вы можете сделать это на компьютере с помощью имеющейся статистической программы. Затем оценим регрессионную зависимость у¹ от z. Коэффициент при z будет представлять собой непосредственную оценку . Постоянный член является оценкой ¹, то есть log . Для получения оценки  необходимо взять антилогарифм, то есть выполнить обратное действие.

4.4.Коэффициенты эластичности в нелинейных регрессиях.

Степенная функция используется в эконометрических исследованиях очень широко. Связано это с тем, что параметр b в ней имеет четкое экономическое истолкование, то есть он является коэффициентом эластичности. Это значит, что величина коэффициента b показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1%.

ПРИМЕР

Кривая Энгеля была построена для расходов на питание в США за период с 1959 по 1983 г. с использованием тех же данных, что и в лекции «Парная линейная регрессия», однако вместо линейной функции в данном случае использовалась нелинейная, приведенная к линейному виду путем взятия логарифмов. Преобразованное выражение имело вид :

y = 1,20 + 0,55 log x

Выполнив обратные преобразования, получим

= е ^1,20х ^0,55 = 3,32 х ^0,55

Если уравнение (4.6.) представляет собой правильную формулу зависимости ( в действительности, это, безусловно, сильно упрощено), то полученный результат предполагает, что эластичность спроса на продукты питания по доходу составляет 0,55, что означает, что увеличение личного располагаемого дохода на 1% приведет к увеличению расходов на питание на 0,55%. Коэффициент 3,32 не имеет простого толкования. Он помогает прогнозировать значения у при заданных значениях х, приводя их к единому масштабу.

О правомерности подобного истолкования параметра b можно судить, если рассмотреть формулу расчета коэффициента эластичности

Э= (4.13)

где - первая производная, характеризующая соотношение приростов результата и фактора для соответствующей формы связи. Для степенной функции она составит . Соответственно коэффициент эластичности окажется равным

Э = (4.14.)

Коэффициент эластичности можно определить и для других форм связи, но только для степенной функции он представляет собой постоянную величину, равную параметру b. В других функциях коэффициент эластичности зависит от значения фактора х. Так, для линейной регрессии у=а+bх коэффициент эластичности определяется по формуле

Э= (4.15.)

так как .

В силу того, что для линейной функции коэффициент эластичности не является величиной постоянной, а зависит от соответствующего значения х, то обычно рассчитывается средний показатель эластичности по формуле

(4.16)

Для параболы второго порядка у=а+bx+cx² первая производная функции , а коэффициент эластичности также зависит от величины х

(4.17)

Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет экономического смысла не имеет. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения значений в %. Например, не имеет смысла определять в % такие признаки, как возраст, число комнат, тарифный разряд рабочего и др. В такой ситуации степенная функция не может быть экономически интерпретирована, поэтому даже если она оказывается наилучшей по формальным математическим соображениям (минимальная остаточная дисперсия), значительно больший интерес для интерпретации может иметь линейная регрессия с меньшим коэффициентом корреляции.