7.1.2. Косвенный метод наименьших квадратов
Препятствие к применению метода наименьших квадратов, которое заключается в коррелированности эндогенных переменных со случайными членами легко преодолеть, если:
привести систему к виду, чтобы в правой части оставались только экзогенные переменные. Такая форма называется приведенной;
затем применить метод наименьших квадратов к каждому уравнению в приведенной форме и получить оценки ее параметров;
перейти от приведенной формы к структурной, проведя процедуру обратного преобразования параметров.
Эта методика получила название косвенного метода наименьших квадратов и позволяет получать состоятельные и несмещенные оценки параметров структурной форму системы одновременных уравнений.
Пример.
Рассмотрим самую простую структурную форму системы одновременных уравнений:
(7.1.10)
Пусть модель реализуется по следующим данным:
7.1.1 Исходные данные
№ п/п |
Y1 |
Y2 |
X1 |
X2 |
1 |
2 |
10 |
150 |
1 |
2 |
3 |
12 |
200 |
2 |
3 |
5 |
15 |
150 |
4 |
4 |
4 |
16 |
140 |
3 |
5 |
6 |
25 |
300 |
5 |
6 |
3 |
16 |
190 |
2 |
7 |
5 |
20 |
250 |
5 |
8 |
8 |
30 |
450 |
9 |
9 |
3 |
11 |
170 |
2 |
В среднем |
4,3 |
17,2 |
222,2 |
3,7 |
Найдем отклонения от средних значений по каждой переменной (табл. 7.1.2):
Перейдем от структурной к приведенной форме, для этого выразим из первого уравнения у2:
(7.1.11)
7.1.2. Отклонения от средних уровней
№ п/п |
y1 |
y2 |
x1 |
x2 |
1 |
-2,3 |
-7,2 |
-72,2 |
-2,7 |
2 |
-1,3 |
-5,2 |
-22,2 |
-1,7 |
3 |
0,7 |
-2,2 |
-72,2 |
0,3 |
4 |
-0,3 |
-1,2 |
-82,2 |
-0,7 |
5 |
1,7 |
7,8 |
77,8 |
1,3 |
6 |
-1,3 |
-1,2 |
-32,2 |
-1,7 |
7 |
0,7 |
2,8 |
27,8 |
1,3 |
8 |
3,7 |
12,8 |
227,8 |
5,3 |
9 |
-1,3 |
-6,2 |
-52,2 |
-1,7 |
Тогда система одновременных уравнений будет иметь вид:
(7.1.12)
Приравняем правые части и выразим у1:
;
;
.
(7.1.13)
Получившееся уравнение является первым уравнением системы в приведенной форме.
Аналогичным образом поступим для получения второго уравнения. Из второго уравнения структурной формы выразим y1:
.
(7.1.14)
Подставим правую часть тождества в первое структурное уравнение:
.
Выразим y2:
(7.1.15)
Таким образом, мы получили систему приведенных уравнений:
(7.1.16)
Обозначим для удобства восприятия получившиеся нелинейные коэффициенты при независимых переменных как :
(7.1.17)
Получим систему приведенных уравнений:
(7.1.18)
Решим систему приведенных уравнений, используя данные табл. 7.1.2, методом наименьших квадратов:
(7.1.19)
Теперь нужно перейти к структурной форме, т.е.:
Сопоставив первое уравнение приведенной и структурных форм видим, что для перехода к структурному виду следует переменную х2 представить как комбинацию переменных у2 и х1. Это можно сделать, выразив х2 из второго уравнения приведенной формы:
.
(7.1.20)
Подставим х2 в первое уравнение системы приведенной формы:
(7.1.21)
Мы получили первое уравнение системы структурной формы.
Теперь выразим переменную х1 из первого уравнения приведенной формы:
(7.1.22)
и подставим х1 во втрое уравнение системы приведенной формы:
(7.1.23)
Получим, таким образом, второе уравнение системы структурной формы:
(7.1.24)
Мы получили систему одновременных, структурных уравнений:
(7.1.25)
Чтобы перейти от отклонений переменных от средних к их значениям (от значений табл. 7.1.2 к табл. 7.1.1), нужно определить свободные члены для каждого из уравнений. Рассчитываются они по формулам:
(7.1.26)
Подставим средние значения (табл. 7.1.1) и коэффициенты при переменных в структурной форме:
(7.1.27)
Тогда система структурных уравнений примет вид:
(7.1.28)
Полученные оценки являются состоятельными и несмещенными, в отличие от оценок метода наименьших квадратов, если применить его к каждому уравнению в отдельности, то получим уравнения множественной регрессии:
(7.1.29)
Как видно, различия значительны, особенно во втором уравнении, где имеется даже несовпадение знаков коэффициента при у1.