3.3. Проверка гипотезы и интервальная оценка коэффициента регрессии.

Процедура оценивания достоверности коэффициента регрессии не отличается от рассмотренной выше для коэффициента корреляции. Сначала выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии связи между признаками и равенстве коэффициента регрессии в генеральной совокупности нулю – Н₀: β =0.Средняя (стандартная) ошибка коэффициента регрессии для парной линейной связи определяется по формуле

3.9.

Для оценки достоверности коэффициента регрессии его выборочная оценка сравнивается с величиной стандартной ошибки, то есть определяется фактическое значение t-критерия Стьюдента

t_факт.= 3.10.

которое потом сравнивается с табличным значением t_табл. при определенном уровне значимости λ и остаточном числе степеней свободы df_ост.. Нулевая гипотеза отклоняется при t_факт.> t_табл. Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как

в - t_табл.∙ т _в ≤ β ≤ в + t_табл.∙ т _в 3.11.

Поскольку коэффициент регрессии в линейном уравнении связи имеет четкую смысловую интерпретацию, то доверительные границы коэффициента не должны содержать противоречивых значений, например -0,8 ≤ β ≤ 1,2. Такого рода запись указывает, что истинное значение коэффициента регрессии одновременно содержит отрицательные и положительные величины и даже ноль, чего не может быть.

3.4. Средняя ошибка уравнения и интервальная оценка отдельных значений результативного признака.

Важным направлением использования уравнений связи является их применение для прогнозирования ожидаемых результатов при заданном уровне факторов для целей управления исследуемой совокупностью. Использование регрессионной модели для прогнозирования состоит в подстановке в уравнение регрессии ожидаемых значений факторных признаков для расчета точечного прогноза результативного признака и его доверительного интервала с заданной вероятностью.

Поскольку не все значения результативного признака лежат на линии регрессии, то использование уравнения регрессии для прогнозирования приведет к некоторой погрешности (ошибке) в оценке анализируемого показателя. Можно назвать два источника возникновения этой погрешности. Во-первых, решенное по выборочным данным уравнение регрессии является всего лишь одним из множества возможных по воле случая подобных уравнений. Каждое из них является лучшим или худшим приближением к истинной (генеральной) линии связи. Во-вторых, уравнение регрессии не воспроизводит общую вариацию результативного признака в полном объеме; остаточная вариация вносит свой вклад в величину погрешности (ошибки) прогноза.

Ошибка точечного прогноза или ошибка положения линии регрессии покажет, на какую величину в среднем точечные прогнозы по всем возможным выборочным линиям регрессии будут отличаться от прогнозного значения результативного признака, определенного по истинной (генеральной) линии связи.

Чтобы понять, как строится формула ошибки, обратимся к уравнению линейной регрессии: . Учитывая, что , уравнение примет вид: . Отсюда вытекает, что стандартная ошибка зависит от ошибки выборочной средней и ошибки коэффициента регрессии: . Из теории выборки известно, что . Используя в качестве оценки σ²_у остаточную дисперсию s²_ост. и учитывая вышеприведенную формулу стандартной ошибки коэффициента регрессии (п.3.3), имеем выражение:

= . 3.12.

Из данной формулы видно, что ошибка положения линии регрессии в прогнозной точке зависит от ошибок отдельных параметров уравнения и от того, как сильно значение признака-фактора отклоняется от его среднего значения. Чем больше разность , тем больше ошибка , с которой предсказывается значение для заданного значения х.

Доверительные интервалы положения линии регрессии при заданном х определяются выражением

3.13.

где а – уровень значимости. На рисунке 3.1. доверительные границы для представлены гиперболами, расположенными по обе стороны от выборочной линии регрессии.

Однако фактические значения y_i отклоняются от уравнения регрессии на величину случайной ошибки , дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы s²_ост. Поэтому ошибка прогноза индивидуального значения y_i должна учитывать не только ошибку положения линии регрессии, но и остаточную вариацию. Средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения результативного признака y_i(х) составит

3.14

.

Доверительный интервал индивидуального прогноза дает возможность в каждом отдельном случае с определенной вероятностью указать, что величина результативного признака окажется в определенном интервале относительно значения, вычисленного по уравнению связи.

Вопросы для повторения

1. Раскройте понятие «достоверность» применительно к параметрам взаимосвязи переменных.

2. Всегда ли необходима процедура оценки достоверности результатов регрессионного анализа?

3. С какой целью проводится F-тест уравнения регрессии?

4. Что такое «число степеней свободы», и как оно определяется для факторной и остаточной сумм квадратов?

5. На какие части раскладывается общий объем вариации результативного признака в ходе дисперсионного анализа регрессионной модели?

6. Как рассчитать остаточный объем вариации результативного признака?

7. Назовите причины существования остаточной вариации.

8. Что показывает табличное (критическое) значение критерия Фишера?

9. Чем определяется табличное значение критерия Фишера?

10. В каком случае уравнение регрессии признается достоверным в целом?

11. Как формулируется нулевая гипотеза при проверке достоверности коэффициента корреляции (регрессии)?

12. С какой целью в регрессионном анализе используется критерий t-Стьюдента?

13. Что показывает средняя ошибка коэффициента корреляции (регрессии) и как ее рассчитать?

14. Что показывает предельная ошибка коэффициента корреляции (регрессии) и как ее рассчитать?

15. Что показывает доверительный интервал параметра связи?

16. Как определить доверительный интервал коэффициента регрессии?

17. Чем отличается процедура проверки достоверности параметров связи для больших и малых выборок?

18. В каком случае принимается гипотеза о достоверности коэффициента регрессии?

19. Назовите источники возникновения ошибки прогноза результативного признака.

20. Что такое «точечный прогноз»?

21. Чем отличается доверительный интервал положения линии регрессии от доверительного интервала индивидуального прогноза?

Резюме по модульной единице 3. Применение регрессионного метода в условиях малочисленных или выборочных наблюдений предполагает последующую оценку достоверности полученных параметров связи. Предлагаемые в данном разделе методики дают возможность выявить случайную или закономерную природу зависимости между факторами и результатами хозяйственной деятельности. Только наличие устойчивой зависимости дает возможность проводить нормативные и прогнозные расчеты и тем самым получать верные выводы о развитии экономических явлений и процессов.