§ 13. Определение направляющих косинусов

Получим формулы, выражающие девять направляющих косину­сов через три параметра:

Для этого повернем систему координат SXYZ на углы

(рис. 27). Первый поворот вокруг оси У преобразует систему SXYZ в Sx'y'z'. Второй поворот вокруг оси х' преобразует си­стему координат Sx'y'z' в систему Sx"y"z". Третий поворот вокруг оси z" позволяет совместить систему координат Sx"y"z" с систе­мой Sxyz.

Таблица 2

Составим таблицу для углов между координатными осями (табл.2).

Пользуясь этой таблицей, на­пишем матрицы, соответствую­щие поворотам

Составим произведение этих матриц А — А_аА_ωА .

Умножить матрицу А_а на матрицу А_ω — значит составить новую матрицу А_аω, компоненты которой получаются в результате умножения строк матрицы А_а на столбцы матрицы А _ω. Действуя по этому правилу, получим

Умножив эту матрицу на матрицу А , найдем

Сопоставляя это выражение с равенством (16), получаем

Аналогично можно вывести формулы, выражающие направля­ющие косинусы через параметры t, α₀ и :

Если направляющие косинусы известны, то, как следует из формул (20) и (21), можно найти угловые элементы внешнего ори­ентирования снимка:

Формулы (20) — (22) пригодны для любых значений элемен­тов внешнего ориентирования снимка.

Угловые элементы внешнего ориентирования планового снимка — величины малые, так как при плановой аэрофотосъемке оптическая ось фотокамеры находится приблизительно в верти­кальном положении, а координатная ось х снимка составляет не­большой угол с осью X фотограмметрической системы координат. Поэтому можно разложить в ряды тригонометрические функции углов а, со и к, входящие в формулы (20), и получить более про­стые выражения для определения направляющих косинусов пла­нового снимка. Сохраняя при этом члены первого и второго по­рядков малости, напишем

Аналогично получим остальные косинусы и представим фор­мулы (20) в таком виде:

§ 14. Связь координат соответственных точек местности и снимка

Пусть с точки S получен снимок Р (рис. 28). Точка М местности изобразилась в точке т. Найдем зависимость между координа­тами этих точек.

Положение точки фотографирования S относительно некото­рого начала О определяет вектор R_s или координаты Xs, Ys, Zs. Положение точки М относительно того же начала определяет век­тор или координаты Х_м, Y _м, Z_m, а положение точки т относи­тельно точки S — вектор или координаты X', Y´, Z'.

Векторы и коллинеарны. Следовательно,

где С — скаляр.

Вместо векторного равенства (25) напишем три координатных равенства:

Подставим в эти выражения значения пространственных коор­динат точки снимка из равенств (14) и получим

Итак, один снимок позволяет составить для каждой изобразив­шейся на нем точки два уравнения с тремя неизвестными коорди­натами точки местности. Отсюда следует, что данных одного снимка недостаточно для определения положения точки местно­сти. По одиночному снимку координаты точки местности можно найти лишь в частном случае, когда высота фотографирования H=Z_S—Z известна. На практике это может быть, когда местность почти не отличается от горизонтальной плоскости.

Из выражений (27) следует, что координаты точки местности зависят от координат ее изображения на снимке и от элементов внутреннего и внешнего ориентирования снимка.

Получим формулы, выражающие обратную связь, т. е. зави­симость между координатами точки снимка и координатами со­ответствующей точки местности. Для этого спроектируем вектор (25) на координатные оси х, у и z:

Получим формулы зависимости между координатами соответ­ственных точек местности и снимка для частных случаев.

Снимок горизонтальный (рис. 29). В этом случае угловые эле­менты внешнего ориентирования снимка α = ω = = 0. Оси коорди­нат х, у параллельны осям X, Y. Пусть X_S=Y_S=Z_S=O, x_o = y_o = O.

Согласно выражению (20) направляющие косинусы a_l = b₂ = с₃=1, а остальные равны нулю. Поэтому формулы (27) и (28) принимают такой вид:

Эти уравнения выведены для случая, когда начало координат на снимке находится в главной точке, а начало координат на мест­ности совмещено с точкой N, соответствующей точке надира п (см. рис. 30). Формулы для других случаев расположения коорди­натных систем на снимке и на местности можно получить из выра­жений (31) и (32) путем параллельного переноса этих систем.

Начало координат на снимке в главной точке о, а на местно­сти — в точке О, соответствующей главной точке (см. рис. 4):

Начало координат на снимке в точке надира п, а на местно­сти — в точке N, соответствую­щей точке надира:

Начало координат на снимке в точке нулевых искажений с, а на местности — в точке С, со­ответствующей точке нулевых искажений:

Начало координат на снимке в главной точке схода I, а на местности — в точке К, лежащей на линии направления съемки и образующей параллелограмм с точками S, I, V:

Начала координат х, у и X, Y в точке V—на пересечении ли­нии направления съемки и главной вертикали: