5.6Теорема (Куна-Таккера).

Следующей теореме отводится основная роль в математическом программировании. Теорема носит имя авторов.

32. Пусть множество допустимых планов задачи выпуклого программирования удовлетворяет условию регулярности. Точка  является оптимальным планом задачи тогда и только тогда, когда существует такой вектор  , при котором пара ( , ) является седловой точкой функции Лагранжа на множестве ,  .

54. Доказать самостоятельно.

6. Если множество определяется только линейными неравенствами, то теорема Куна-Таккера верна без условия регулярности.

5.7Дифференциальные условия Куна-Таккера

33. Пусть множество = , функции , основной задачи выпуклого программирования непрерывно дифференцируемы на множестве . Для того чтобы пара ( , ) была седловой точкой функции Лагранжа в области , необходимо и достаточно выполнение условий:

110.  ,

111. ,

112.  .

5.8Общая схема решения задачи выпуклого программирования

Для решения предложенной оптимизационной задачи следует выполнить следующие действия:

1. Определить множество .

2. Определить вектор-функцию =( ,…, ) и вектор  .

3. Определить множество допустимых планов ={ }.

4. Привести задачу к стандартной форме основной задачи выпуклого программирования (101)-(102) и определить оптимизируемую функцию .

5. Проверить, является ли полученная оптимизационная задача ЗВП, для этого

• проверить на выпуклость множество ;

• проверить на выпуклость функцию .

В случае успеха п. 5

6. Построить функцию Лагранжа полученной ЗВП.

7. С помощью дифференциальных условий Куна-Таккера найти седловые точки построенной функции Лагранжа.

В случае неудачи п. 5 попытаться найти другие методы решения задачи.

Лекция № 6.Линейное программирование

Содержание учебного плана: примеры моделей операций, приводящих к задаче линейного программирования (ЗЛП); различные виды ЗЛП и их эквивалентность; геометрическая интерпретация решения ЗЛП; основные понятия симплекс-метода решения ЗЛП; симплекс-алгоритм; методы отыскания опорного плана; двойственная ЗЛП; теоремы двойственности; экономическая интерпретация двойственных переменных.

6.1Примеры моделей операций, приводящих к злп

Рассмотрим ряд задач, которые приводят к решению ЗЛП.

6.1.1Задача о диете

Исторически одной из первых задач, построенных на решении ЗЛП, являлась задача о диете [17]: задача составления наиболее экономного (т.е. наиболее дешевого) рациона питания, удовлетворяющего определенным требованиям. Подобная задача возникает в связи с необходимостью обеспечить питанием большое число людей, например, в армии, санатории и т.п. Аналогичная задача возникает в сельскохозяйственном производстве: животноводстве, птицеводстве и т.д.

Предполагается, что известен перечень доступных продуктов из наименований (хлеб, сахар, соль и т.д.), которые имеют полезных характеристик (потребительских свойств). Для каждого –го продукта известна его медицинская характеристика — удельное содержание –го полезного компонента. Матрицу ={ } ( , ) называют матрицей питательности.

Пусть  — планируемый рацион,  — вектор цен на продукты питания, а  — вектор необходимого содержания полезных компонент. Задачу

113. ,

где =< , >; ={  :  },

называют задачей о диете, или задачей о составлении рациона питания.