2.3Методы свертки показателей эффективности

С точки зрения формализованного анализа и применения математических методов решения наиболее «просто» устроены модели проблем, которые имеют единственный показатель эффективности. Поэтому при исследовании многокритериальных систем используют специальные методы преобразования совокупности показателей в один, интегрированный оптимизируемый показатель. Такая операция называется сверткой критериев.

2.3.1.1Экономический способ формирования критериев

Суммирование или «экономический» способ соединения, когда целевой установкой объявляется максимизация суммарного критерия типа (действие 1):

= .

Вектор , участвующий в свертке, характеризует весовые коэффициенты каждого частного критерия, степень его важности в достижении общей целевой установки. Определение вектора весовых коэффициентов проводят эксперты по соответствующей проблеме. Неотрицательность вектора априори не предполагается, хотя в реальных практических задачах она явно фигурирует. По такому принципу, например, образован критерий в модели Гросса [3]; все координаты вектора в этой модели равны 1, а под частными критериями можно понимать операции средств нападения на отдельных пунктах расположения средств защиты. Принципы, заложенные в такой модели можно использовать для моделирования систем ликвидации чрезвычайных ситуаций в пожароопасных районах, считая возникновение очагов поражения действиями противника.

«Экономический» способ свертывания приводит к целевым установкам второго (количественного) типа, если даже для частных операций были целевые установки первого типа, т.е. .

2.3.1.2Критические состояния объекта

Критические состояния объекта, которые выделяют эксперты по анализируемой проблеме, требуют соблюдения условий его функционирования в виде множества Ô — условно допустимых состояний, которые часто задаются в виде предельно допустимых значений параметров (ограничения) модели при всех . Для свертки таких критериев используют способ перехода к целевым установкам первого типа путем разбиения векторов {W_j} на удовлетворительные и неудовлетворительные. Удовлетворительными объявляются только те векторы { }, для которых выполнены условия:

 при всех .

При этом новый критерий эффективности имеет вид (действие 2):

=1 при выполнении неравенств

=0 в остальных случаях.

Этот вариант применяется даже в случае , что означает замену критерия «увеличение » на критерий «достижение неравенства  ».

2.3.1.3Последовательное достижение частных целей

Здесь оценка выполнения последующей целевой установки начинается оперирующей стороной только тогда, когда достигнуты уже абсолютные максимумы критериев эффективности предыдущих частных целевых установок. Если  , то суммарный результат при этом принимается равным сумме достигнутых результатов в учитываемых ранее оценках эффективности. Формально этот способ свертки (при W j0) можно записать в виде (действие 3):

= W _j + sup ,

когда j удовлетворяет условиям

W _i = sup W _p при p  j — 1, W _j < sup W _j,

где sup W _j означает верхнюю границу возможных значений критерия W _j.

2.3.1.4Логическое объединение критериев

Пусть частные критерии — критерии первого типа и принимают значения 0 и 1. Тогда используют элементарные операции над критериями (действие 4):

а) целевой установкой, противоположной данной j-й целевой установке, называется стремление к невыполнению j-й целевой установки:

W _{j н} = 1 — W _j ;

б) суммарная целевая установка состоит в выполнении всех частных целевых установок (конъюнкция)

= П ^S _j=1 W _j.

в) суммарная целевая установка состоит в выполнении хоть одной из частных целевых установок (дизъюнкция)

= 1 — П ^S _j=1 (1 — W _j).

Эти действия, обычные для математической логики, составляют, как известно, полную систему булевых операций. Это означает, что любая связь = F({W _j}), где и W _j принимают только булевские значения, может быть записана в виде конечного числа последовательных повторений действий а), б) и в). Этим тем самым полностью описаны возможные связи между суммарным критерием и частными критериями, если как частные, так и суммарные операции принадлежат к первому типу, т.е. имеют качественный характер.