4.4Теоремы отделимости выпуклых множеств.
Пусть — выпуклое множество в . Для любой точки , внешней относительно замыкания множества , существует такая гиперплоскость
,
что <
,
>=
и для всех
будет <
,
><
.
Геометрический смысл теоремы очевиден: существует такая проходящая через точку гиперплоскость
,
что
,
т.е. лежит в одном из полупространств,
определяемых
.
Доказать самостоятельно. Указание: провести гиперплоскость с нормалью = и смещением =< , >.
Гиперплоскость называется опорной гиперплоскостью в точке к множеству , если для всякого элемента выполняются соотношения:
< , > и < , >= .
В любой граничной точке выпуклого множества существует опорная гиперплоскость (88).
Доказать самостоятельно. Указание: рассмотреть последовательность точек, внешних относительно замыкания множества и таких, что последовательность сходится к вектору .
Доказать, что если в точке существует касательная гиперплоскость, то она совпадает с опорной и в этом случае опорная гиперплоскость единственна.
(о разделяющей гиперплоскости). Если множество внутренних точек выпуклого множества не пусто и не пересекается с выпуклым множеством , то для множеств и существует разделяющая их гиперплоскость , т.е. существует вектор 0 такой, что < , >< , > для всех и .
4.5Крайние точки выпуклых множеств.
Точка множества называется крайней, или угловой точкой, если в не существует таких точек и , причем , что при некотором
.
Примеры.
1. Любая точка окружности является крайней для круга.
2. Крайними точками плоского треугольника являются его вершины.
Привести пример выпуклого множества, не имеющего ни одной крайней точки. (Например, замкнутая верхняя полуплоскость. Доказать.).
Построить крайние точки множества решений системы неравеств:
+ 3; 5; 3; 5.
Размерностью выпуклого множества называется размерность минимального линейного подпространства в , содержащего .
Определить размерность выпуклого множества
+ 3; — 5; 4; 5.
Пусть — выпуклый компакт в . Тогда множество его крайних точек не пусто.
Доказать самостоятельно, применяя метод математической индукции по размерности выпуклого компакта .
Точка называется выпуклой комбинацией точек
,
если существуют неотрицательные числа
,
что
=
и
.
Примеры.
1. Любая внутренняя точка круга является выпуклой комбинацией концов хорды, проходящей через точку .
2. Любая точка треугольника является выпуклой комбинацией вершин.
(о представлении). Любая точка выпуклого замкнутого ограниченного множества может быть представлена в виде выпуклой комбинации конечного числа угловых точек этого множества (доказать самостоятельно).
Указание. Рассмотреть отдельно случаи, когда исходная точка является граничной точкой множества и внутренней точкой множества .
Выпуклой оболочкой
произвольного множества
называется минимальное выпуклое
множество, содержащее
.Выпуклым многогранником называют выпуклую оболочку конечного множества точек.
Примером является -мерный куб.
Выпуклая оболочка совпадает с множеством всевозможных выпуклых линейных комбинаций точек из .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Множество всевозможных выпуклых линейных комбинаций точек из является выпуклым множеством (выпуклое множество, порожденное на множество , или натянутое на множество ). Такое множество, разумеется содержит и выпукло, следовательно, включает .
Обратно, как выпуклое множество содержит всевозможные выпуклые линейные комбинации своих точек и, в частности, выпуклые линейные комбинации точек множества , так что включает выпуклое множество, порожденное точками из .
Из 1, 2 и определения следует утверждение теоремы.
Любое компактное выпуклое множество в является выпуклой оболочкой своих крайних точек.
Доказать самостоятельно.
Множество называется конусом, если из условия следует
для всех
.
Пусть — выпуклое множество в . Может ли быть выпуклым дополнение до ?
Примером конуса служит множество = { :
}.
Назовем конической -крестностью
точки
минимальный конус, содержащий
-окрестность
точки
.
Доказать, что вектор принадлежит тогда и только тогда, когда существует такое число
,
что
.
Следующие теоремы необходимы для дальнейшего изложения материала и приводятся к сведению.
Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.
Доказать, что если столбцы матрицы линейно независимы, то матрица
является невырожденной.
Если столбцы матрицы линейно независимы, то линейное преобразование = отображает замкнутое множество на замкнутое множество .
(о замкнутости конуса). Множество
={ : = , 0} замкнуто.
(лемма Минковского-Фаркаша). Если существует такой вектор , что для всех , удовлетворяющих неравенству 0, будет < , >0, то найдется вектор 0 такой, что = .
Доказать, что всякая гиперплоскость, опорная к выпуклому конусу, проходит через начало координат. (Ашманов С.А.)