4.9.2Дифференцируемость по направлению.
Пусть задан нормированный
вектор
.
Напомним, что производной по направлению
функции
в точке
называется величина
,
построенная по правилу:
=
.
Если функция
дифференцируема, то производная по
направлению а может быть рассчитана по
формуле:
=<
,
>.
Функция , выпуклая на выпуклом множестве , имеетв любой внутренней точке производную по любому направлению.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть
задана внутренняя точка
и вектор
.
Рассмотрим скалярную функцию скалярного
аргумента
=
,
определенную на некотором интервале
,
содержащем точку
качестве внутренней точки Очевидно,
выпукла в области определения. Теорема 22.
дает возможность заключить, что функция
имеет правостороннюю производную в
точке
,
которая по определению совпадает с
величиной
.
Если выпукла и точка является выпуклой комбинацией некоторого конечного числа точек , т.е. существуют неотрицательные числа , что
= и ,
то
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проводится по индукции. При этом используется представление (94).
4.9.3Непрерывность.
Выпуклая функция , определенная на выпуклом множестве , непрерывна в каждой внутренней точке этого множества.
Привести пример, когда последнее утверждение неверно для граничной точки области определения .
При каких и
будет выпукло множество
={
}.
4.10Выпуклые дифференцируемые функции и их экстремальные свойства
Важное свойство дифференцируемых функций, которым мы будем пользоваться в дальнейшем, устанавливает
Функция , дифференцируемая на выпуклом, замкнутом множестве , выпукла тогда и только тогда, когда для любых точек , справедливо:
<
,
—
>
—
.
Для вогнутой функции
< , — > — .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость. Зафиксируем некоторые точки , и запишем неравенство (89), определяющее выпуклую функцию , в виде:
при
,
откуда
,
и переходя к пределу, получим (96). Для этого достаточно рассмотреть функцию одного переменного
.
Тогда
=
.
Воспользовавшись правилом дифференцирования сложных функций, получаем
=
=
=<
,
—
>.
Достаточность. Пусть выполняется (96). Обозначив
и
,
получим
и
,
откуда
.
Таким образом, при
будет
.
Пусть
и
;
тогда
=
=
+
—
.
Аналогичный результат
получаем и при
,
вследствие чего для любых
,
будет справедливо неравенство
+ .
Таким образом, , а следовательно, выпукла и :
=
=
+
=
+
.
Направление
в точке
выпуклого множества
называется возможным или допустимым,
если существует такое число
>0,
что для всех
векторы
.
Если , то любое направление в этой точке является возможным.
Для того чтобы точка
выпуклого множества
являлась точкой локального минимума
дифференцируемой на
функции
,
необходимо, чтобы существовала такая
-окрестность
точки
,
что для всех
было выполнено неравенство:
<
,
—
> 0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть
— точка локального минимума, а
ее
-окрестность.
Тогда для любого
=
будет
.
Так как
— выпукло, любое возможное направление
в точке
может быть представлено в виде
=
—
,
и для
будет
+
.
Поэтому
.
Теорема 27. в терминах «возможных направлений» может быть сформулирована следующим образом:
для того чтобы точка выпуклого множества являлась точкой локального минимума дифференцируемой на функции , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке производные по всем возможным направлениям были неотрицательны.
Если выпуклы функция и множество , то любая точка , являющаяся точкой локального минимума, будет оптимальной для задачи минимизации на . Множество
оптимальных точек выпукло.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть
не является оптимальной точкой для
задачи минимизации
на выпуклом множестве
,
то есть найдется точка
,
что
.
Рассмотрим точки
=
+
,
.
Так как
выпукло, то
.
Применяя определение выпуклой функции, получим
,
что противоречит непрерывности функции .
Доказать выпуклость множества оптимальных точек .