4.6Альтернативы Фредгольма.
Доказать, что либо уравнение = имеет неотрицательное решение, либо имеет решение система неравенств: 0, < , >>0.
Доказать, что либо неравенство =с имеет неотрицательное решение, либо имеет неотрицательное решение система неравенств 0, < , >>0.
Пусть — кососимметрическая матрица, т.е. = . Тогда система неравенств 0, 0 имеет такое решение , что + >0.
4.7Выпуклые функции и их свойства.
Скалярная функция
называется выпуклой вниз (выпуклой) на
выпуклом множестве
,
если для любых
,
и любого а[0,1]
выполнено неравенство:
.
Если же выполнено
.
функция называется выпуклой вверх (вогнутой).
Если для любого
неравенство (89) — строгое, то функцию
называют строго выпуклой.
Примеры выпуклых функций.
Если выпукла на выпуклом множестве , то выпукла и функция
=
.Если выпукла и неотрицательна на выпуклом множестве , то будет выпукла на и функция
.
Пусть выпукла на выпуклом множестве , , — произвольный вектор. Тогда существует некоторый числовой интервал ,
,
,
на котором определена скалярная функция
=
.
выпукла при
.Доказать, что квадратичная функция =< ,
>+<
,
>
выпукла (строго выпукла) тогда и только
тогда, когда симметрическая матрица
неотрицательно (положительно) определена.
Напомним, что необходимые и достаточные условия положительной определенности матрицы устанавливает, например, критерий Сильвестра:
для того чтобы квадратичная форма с матрицей была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы все последовательные главные миноры матрицы этой формы были положительными.
Доказать, что в положительно определенной матрице все главные миноры положительны.
Доказать: для того чтобы квадратичная форма была неотрицательной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы коэффициентов были неотрицательны.
Привести пример, когда все последовательные главные миноры матрицы неотрицательны, но соответствующая квадратичная форма не является неотрицательной.
4.8Связь между выпуклыми функциями и выпуклыми множествами
Пусть
:
выпукла вверх (вогнута) по каждой своей
компоненте
=(
,
,…
),
— матрица размеров
,
.
Тогда выпукло множество
,
определяемое соотношениями:
={ :
,
=
}.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Рассмотрим точку
для произвольных точек
,
и любого
.
Определение 29. дает
,
=
,
ч.т.д.
4.9Свойства выпуклых функций.
Пусть
— выпуклая скалярная функция скалярного
аргумента
,
определенная на интервале
.
Тогда для любого заданного
величина
=(
—
)/(
—
)
монотонно убывает при > и и ограничена снизу.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
1). Пусть
<
<
<
.
Для любого
число
можно представить в виде:
= ( — )/( — ) +(1—( — )/( — )) ,
тогда
из выпуклости
получим
для всех
>
,
т.е. установлена монотонность для
.
2). Представив в виде:
=( — )/( — ) +(1—( — )/( — )) ,
и используя выпуклость , получим, что ограничена на интервале ( , ).
4.9.1Дифференцируемость скалярной выпуклой функции.
Скалярная выпуклая функция , определенная на интервале , имеет в каждой внутренней точке к этого интервала правосторонную
и левостороннюю
производные.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Теорема о существовании правосторонней производной является простым следствием предыдущей теоремы.
Существование левосторонней производной доказывается аналогично.
Доказать существование левосторонней производной.
Для односторонних производных доказать неравенство:
.