3.3Модель численного поиска экстремума
Пусть о функции , заданной на отрезке , априори известно, что она удовлетворяет условию Липшица с коэффициентом , т.е. выполнено:
для любых
.
Дайте графическое изображение на плоскости условию Липшица.
Требуется приближенно определить экстремум функции на .
Активным средством
является машинное время, ограниченное
величиной
.
На каждое вычисление одного значения
требуется время
.
Это также ограничивает класс рассматриваемых
функций
.
Тогда максимально
возможное число точек
,
в которых может быть вычислена функция,
есть
/
;
это также можно считать определением
активных средств.
Стратегиями является
выбор
=
при
,
/
.
Приближенным значением экстремума
(минимум) и точки
его реализации считается
для любых
.
Без ограничения рассматриваемого класса функций обойтись, очевидно, нельзя. Даже непрерывность функций без указания равностепенности этой непрерывности для всего семейства не может сделать задачу осмысленной. Действительно, если не делать предположений о равностепенности, то, какое бы число точек мы ни взяли, всегда можно указать непрерывную функцию такую, что
отличается от
на сколь угодно большую величину как
по значению, так и по месту экстремума.
Поэтому принято предположение об
условии Липшица.
Приведите пример, подтверждающий Замечание 2..
Ошибкой в определении экстремума является вектор
=
,
который в этой модели и есть фазовый вектор.
Однако в такой постановке задачи показатель эффективности остается пока еще неясным, поскольку неясно, какой компоненте вектора ошибки (46) при ее минимизации следует отдать предпочтение.Как правило, используют показатели типа
=
;
=
.
Более общий случай критерия такого вида будет выражение
=
,
где
.
Иногда рассматривают критерии вида
=
.
Величины
и
называют коэффициентами важности или
веса составляющих ошибки (46).
Возможны и другие постановки. Например, критерий может иметь вид
=
при обязательном условии
,
Здесь — заданная точность определения минимума.
Возможна и сильно отличающаяся постановка вопроса, когда показателем является машинное время, необходимое для определения экстремума с заданной точностью. Тогда в качестве контролируемых факторов могут рассматриваться алгоритмы решения задач оптимизации.
Во всех случаях неопределенными факторами являются значения функции и величина , если последняя не фиксирована.
Однако поскольку в
критериях мы имеем дело только с
,
и
,
то их (может быть вместе с
)
и достаточно считать неопределенными
факторами.
Для окончательной конкретизации задачи требуется уточнить, необходимо ли определять все значения или хотя бы одно из них. В дальнейшем будем считать, что определяется хотя бы одна точка экстремума.
Вообще говоря, в «замкнутой» операции (т.е. не связанной с другими операциями) всегда достаточно определить хотя бы одно решение, поскольку все они равноценны с точки зрения рассматриваемой операции.
3.4Модель действий нападения против защиты в военных операциях
Пусть имеется средств нападения и средств защиты.
Пусть имеются мест возможного прохода средств нападения через линию средств защиты; — номер пункта прохода.
При расположении
одного средства защиты на
-м
месте оно в состоянии уничтожить
средств нападения, проходящих через
этот пункт. Нападение стремится увеличить
общее количество прошедших через защиту
средств нападения. Обозначим через
количество средств нападения, прорывающихся
через
-й
пункт, а через
— количество средств защиты, расположенных
на этом месте.
Введем векторы
,
,
.
Тогда оперирующая сторона будет решать
задачу:
увеличить показатель эффективности операции средств нападения
=
.
при условиях
,
,
,
.
Фиксированным неконтролируемым фактором здесь является величина ; стратегия нападения состоит в выборе вектора .
Случайностей и природных неопределенностей нет. Имеется активный противник, стратегии которого являются обычно неопределенным фактором при планировании операции заранее. Оперирующая сторона — нападение, — может быть, сможет получить и использовать информацию о в момент боевых действий. Таким образом, стратегиями могут быть функции ( ).