
- •Розділ 1. Теорія множин
- •1. Поняття множини
- •2. Найпростіші операції над множинами
- •3. Числові множини
- •4. Обмежені множини. Верхні та нижні грані множин
- •5. Поняття функції (відображення)
- •6. Еквівалентні множини. Потужність множин
- •7. Потужність континуума
- •Розділ 2. Послідовності. Функції однієї змінної
- •1. Числові послідовності
- •2. Границя послідовності
- •3. Застосування послідовностей в економіці
- •4. Поняття функції
- •5. Способи задання функції
- •6. Деякі властивості функцій
- •7. Функція, обернена до даної
- •8. Класифікація функцій
- •9. Основні методи побудови графіків функцій
- •10. Приклади застосування функцій в економіці
- •11. Границя функції
- •12. Нескінченно малі і нескінченно великі функції
- •13. Основні теореми про границі функцій
- •14. Обчислення границь функцій
- •15. Істотні границі Перша істотна границя
- •Друга істотна границя
- •16. Порівняння нескінченно малих
- •17. Неперервність функції в точці
- •18. Властивості функцій, неперервних в точці
- •19. Точки розриву і їхня класифікація
- •20. Властивості функцій, неперервних на відрізку
- •Розділ 3. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •1. Задачі, що приводять до поняття похідної функції
- •2. Поняття похідної
- •3. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної і нормалі до кривої
- •4. Диференційованість функції в точці
- •5. Похідні елементарних функцій
- •6. Основні правила диференціювання
- •7. Похідна складної функції
- •8. Логарифмічне диференціювання. Похідна степеневої, показникової, показниково-степеневої функцій
- •9. Похідна оберненої функції. Похідні обернених тригонометричних функцій
- •10. Таблиця похідних
- •11. Похідна неявно заданої функції
- •12. Похідна функції, заданої параметрично
- •13. Похідні вищих порядків
- •14. Наближені обчислення за допомогою похідної
- •15. Еластичність функції
- •Еластичності елементарних функцій:
- •16. Застосування еластичності в економічному аналізі Еластичність попиту відносно ціни
- •Еластичність і податкова політика
- •17. Основні теореми диференціального числення
- •18. Правило Лопіталя
- •19. Зростання і спадання функції на проміжку
- •20. Екстремуми функції
- •Необхідна умова екстремуму диференційованої функції.
- •Перша достатня умова екстремуму.
- •Друга достатня умова екстремуму.
- •Третя достатня умова екстремуму.
- •21. Найбільше і найменше значення функції на відрізку
- •22. Випуклість, увігнутість графіка функції. Перегин
- •Необхідна і достатня умова випуклості (увігнутості) графіка функції.
- •Необхідна умова точки перегину.
- •Достатні умови точки перегину.
- •23. Асимптоти графіка функції
- •24. Повне дослідження і побудова графіка функції
- •25. Застосування похідної в економіці Граничний аналіз в економіці.
- •Задачі на екстремум.
- •Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних
- •1. Основні поняття
- •2. Границя і неперервність
- •3. Частинні похідні функції
- •4. Повний диференціал
- •5. Похідна функції за даним напрямком. Градієнт
- •6. Частинні похідні і диференціали вищих порядків
- •7. Локальний екстремум функції багатьох змінних
- •8. Неявно задані функції
- •9. Умовний екстремум
- •10. Найбільше і найменше значення функції в області
- •11. Метод найменших квадратів
- •12. Економічні задачі
3. Частинні похідні функції
Нехай у деякій області
задана функція
.
У деякій точці
,
що належить області
,
її значення
.
Дамо аргументу
приріст
,
не змінюючи інші змінні. Функція
одержить приріст
,
який називається частинним приростом
функції по змінній
.
Означення 4.9. Частинною похідною по від функції в точці називається границя відношення частинного приросту функції за аргументом до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, тобто
.
Позначається частинна похідна по
так:
,
,
,
.
З означення частинних похідних випливає, що частинна похідна по будь-якій змінній є звичайною похідною цієї функції по обраній змінній, за умови, що інші змінні є сталими.
Тому обчислення частинних похідних не вимагає нових формул і правил диференціювання, крім тих, які відомі з диференціального числення функції однієї змінної.
Наприклад, для функції
частинні похідні мають вигляд:
;
.
4. Повний диференціал
Розглянемо неперервну функцію . Дамо аргументам приріст. При цьому функція також одержить приріст, який назвемо повним приростом функції:
,
або
Означення 4.10. Повним диференціалом функції двох змінних називається головна частина її приросту і позначається
. (4.4)
Диференціал незалежної змінної дорівнює
її приросту, тобто
.
Тоді
. (4.5)
Можна стверджувати, що
. (4.6)
Цю формулу застосовують у наближених обчисленнях, заміняючи приріст функції її диференціалом.
Приклад
4.2. Обчислити наближено
.
Розв’язання.
Для функції
,
,
;
;
;
;
.
Тоді:
.
Підставляючи значення, одержуємо
.
На підставі формули (4.6) у наближених обчисленнях оцінюють похибки обчислень.
Приклад
4.3. При вимірі циліндра були отримані
результати:
,
.
З якою абсолютною і відносною похибками
може бути обчислений об'єм?
Розв’язання.
Об'єм циліндра обчислюється за
формулою
.
За умовою задачі
,
.
Отже, похибки змінних:
,
.
Знайдемо частинні похідні
й
і їхні значення при
,
:
.
Обчислюємо максимальну абсолютну похибку:
.
Відносну похибку результату,
:
.
5. Похідна функції за даним напрямком. Градієнт
Нехай
– функція, визначена в області
.
Нехай точка
належить області
.
Розглянемо деякий напрямок
,
заданий напрямними косинусами кутів,
утворених цим напрямком з осями координат.
При переміщенні в напрямку
точки
в точку
функція одержить приріст, що називається
приростом функції в даному напрямку.
Означення
4.11. Похідною функції
за напрямком
називається границя відношення приросту
функції в цьому напрямку до величини
переміщення
за умови, що останнє прямує до нуля:
.
В двовимірному випадку маємо:
. (4.7)
Похідна
є швидкість зміни функції в заданому
напрямку.
Приклад
4.4 Знайти похідну
функції
в точці
за напрямком, що йде від цієї точки до
точки
.
Розв’язання.
Пряма
,
за напрямком якої потрібно знайти
похідну, має напрямний вектор
.
Знайдемо напрямні косинуси:
;
.
Знайдемо частинні похідні заданої
функції й обчислимо їх у точці
:
,
,
,
.
Скориставшись формулою (4.7),
одержимо:
.
Нехай функція диференційована в деякій області і точка належить цій області.
Означення 4.12. Градієнтом функції в точці називається вектор, координатами якого є частинні похідні функції, обчислені в точці .
Градієнт функції позначають символом
.
Таким чином,
. (4.8)
Використовуючи градієнт функції, похідну за напрямком можна записати у вигляді
, (4.9)
де
– одиничний вектор заданого напрямку,
координати якого дорівнюють відповідно
напрямним косинусам.
Оскільки
,
де – кут між
векторами
і
,
то з формули (4.9) випливає, що похідна за
напрямком
набуває найбільше значення, якщо вектор
має той же напрямок, що і
.
Оскільки
є швидкістю зміни функції
в напрямку
,
то градієнт цієї функції спрямований
в бік найбільшої зміни функції, а довжина
цього вектора
дорівнює найбільшій швидкості зміни
функції.
Можна показати, що спрямовано по нормалі до лінії рівня , що проходить через точку .
Приклад
4.5. Знайти градієнт функції
і показати, що він спрямований по нормалі
до ліній рівня даної функції.
Розв’язання. Знаходячи частинні похідні, одержимо
.
Кутовий коефіцієнт градієнта
.
Лінії рівня даної функції задаються
рівнянням
.
Обчислимо кутовий коефіцієнт дотичної
до лінії рівня як
,
для цього знайдемо похідну функції
.
Продиференціюємо останню рівність, за
умови, що
– аргумент, а
– функція, одержимо
,
звідки
,
тобто кутовий коефіцієнт дотичної до
лінії рівня дорівнює
.
Таким чином,
,
тобто градієнт функції спрямований по
нормалі до лінії рівня.