18. Властивості функцій, неперервних в точці
Теорема 2.7. Сума, різниця, добуток скінченного числа функцій, неперервних у точці x0, також неперервні в цій точці.
Теорема 2.8. Частка від ділення двох функцій, неперервних у деякій точці x0, також неперервна в цій точці за умови, що знаменник у цій точці не дорівнює нулю.
Теореми доводяться на підставі відповідних теорем про границі.
Доведемо, наприклад, теорему 2.8. Нехай
функції
і
неперервні в точці
і
.
Це значить, що
,
.
Розглянемо функцію
.
Для цієї функції:
,
тобто функція
неперервна в точці
.
Теорема
2.9. Якщо функція
неперервна в точці
,
а функція
неперервна в точці
,
причому
,
то складна функція
неперервна в точці
.
Покажемо, що для складної функції
виконується означення неперервності:
,
тобто складна функція
неперервна в точці
.
На підставі приведених теорем можна стверджувати, що всяка елементарна функція неперервна в кожній точці своєї області визначення.
19. Точки розриву і їхня класифікація
Нехай функція визначена в деякому околі точки . Якщо функція неперервна в точці , для неї виконується означення неперервності. Якщо хоча б одна з рівностей (2.15) порушується, говорять, що функція в точці терпить розрив, а сама точка називається точкою розриву.
Якщо односторонні границі функції в
точці
рівні, але не дорівнюють значенню функції
в точці, тобто
,
говорять, що в точці
усувний розрив. Прикладом такого розриву
є розрив функції
в точці
.
Дійсно, функція визначена, а значить і
неперервна для всіх
,
крім
.
У самій точці
функція не визначена, але
,
отже, маємо усувний розрив. Досить
довизначити функцію в точці
,
поклавши
.
Нова функція
неперервна в точці і на всій числовій прямій.
Якщо односторонні границі функції в
точці
різні, але обидві скінченні, то говорять,
що в цій точці розрив першого роду.
Наприклад, функція
не визначена в точці
.
Обчислимо односторонні границі функції в зазначеній точці, використовуючи символічні записи:
,
.
Отже, в точці функція терпить розрив першого роду. Графік такої функції зображений на рис. 2.32.
|
|
Рис. 2.32. |
Рис. 2.33. |
Розрив першого роду називають розривом зі скінченним стрибком.
Якщо ж хоча б одна з однобічних границь функції в точці дорівнює нескінченності, говорять, що в точці розрив другого роду або розрив з нескінченним стрибком.
Такий розрив має функція в точці .Дійсно:
Рис. 2.34.
;
Графік функції зображений на рис. 2.33.
Приклад 2.13. Дослідити на неперервність функцію:
Розв’язання.
Оскільки всі елементарні функції
неперервні в кожній точці своєї області
визначення, функції
і
неперервні на всій числовій прямій.
Досліджуємо точку x=1. Обчислимо
односторонні границі функції в точці:
Отже, задана в умові функція неперервна в кожній точці числової прямої, крім точки x=1. У точці x=1 функція терпить розрив першого роду. Графік функції зображений на рис. 2.34.
20. Властивості функцій, неперервних на відрізку
Будемо називати функцію неперервною
на відрізку
,
якщо вона неперервна в кожній точці
інтервалу
,
неперервна справа в точці
і неперервна зліва в точці
.
Теорема
2.10. Якщо функція
неперервна на відрізку
,
то вона набуває на цьому відрізку
найбільшого
і найменшого
значення, тобто для всіх точок відрізка
виконується нерівність:
.
Якщо функція монотонна на відрізку , то такі значення збігаються зі значеннями функції на кінцях відрізка (рис. 2.35), якщо не монотонна – чи (чи обидва) можуть знаходитися в деякій внутрішній точці відрізка (рис. 2.36).
|
|
Рис. 2.35. |
Рис. 2.36. |
Свої найбільше і найменше значення
функція може приймати і кілька разів.
Так, функція
на відрізку
кілька разів набуває значення
і
.
Теорема
2.11. Якщо функція
неперервна на відрізку
,
то для будь-якого числа
,
взятого між найменшим
і найбільшим
значеннями функції на відрізку, усередині
відрізка знайдеться хоча б одна така
точка
,
що значення функції в зазначеній точці
буде дорівнювати
.
Якщо функція монотонна на відрізку , то така точка єдина , якщо не монотонна – знайдеться кілька точок, значення функції в яких дорівнюватиме заданому числу.
Теорема 2.12. Якщо функція неперервна на відрізку і на кінцях відрізка набуває значення різних знаків, то у середині відрізка знайдеться хоча б одна така точка, значення функції в якій дорівнює нулю (рис. 2.37).
Рис. 2.37.
Говорять, якщо функція на кінцях відрізка набуває значення різних знаків, але на цьому відрізку в неї існує хоча б один корінь.
Теорема невірна, якщо функція на відрізку не є неперервною.
Теорема широко застосовується в наближених розв'язках рівнянь, оскільки є ознакою існування кореня функції на зазначеному відрізку.
Наприклад, рівняння
має на відрізку
хоча б один дійсний корінь, оскільки
для
,
.
Вправи
2.1. Знайти область визначення функцій:
а)
;
б)
;
в)
; г)
;
д)
; є)
;
ж)
; з)
;
і)
; к)
.
2.2. З'ясувати, які функції є парними, які непарними:
а)
;
б)
;
в)
; г)
;
д)
; є)
;
ж)
; з)
;
і)
; к)
.
2.3. Знайти область значень функцій:
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
.
2.4. Знайти найменший період функцій або довести їх неперіодичність:
а)
; б)
;
в)
; г)
; д)
.
2.5. Відомо, що
.
Знайти
.
2.6. Відомо, що
.
Знайти
.
2.7. Відомо, що
,
.
Знайти
.
2.8. Знайти функцію, обернену до даної і побудувати графік даної і оберненої до неї функції:
а)
;
б)
;
в)
.
2.9. Побудувати графіки елементарних функцій:
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
; є)
;
ж)
; з)
;
і)
,
де
– ціла частина
;
к)
,
де
– дробова частина
;
л)
; м)
;
н)
; о)
.
2.10. Оптимальну швидкість (м/с) обертання молотильного барабана кукурудзомолотарки визначають за формулою
де
x
– вологість зерна у відсотках. Знайти
і
.
Знайти область визначення функції.
Побудувати графік функції. Як змінюється
швидкість барабана зі збільшенням
вологості зерна?
2.11. При
будівництві ставків необхідно враховувати
кількість води, що буде надходити в
ставок під час весняного паводка. Вона
прямо пропорційна величині
,
де
,
,
– відповідно відсоток озерності і
заболоченості місцевості. Розв’язати
нерівність
,
побудувати відповідну частину графіка
(вибрати по осі абсцис масштаб 1:10, а по
осі ординат 1:0,1).
2.12. Валова продукція на 1 га сільськогосподарських угідь за чотири роки збільшилася на 24,4% . Скласти рівняння прямої, що відображає зміну валової продукції на 1 га протягом чотирьох років за умови, що валова продукція у відсотках змінюється пропорційно часу.
2.13. Витрати виробництва на 10 одиниць деякого товару складають 1000 грош. од., на 50 одиниць товару – 2000 грош. од. Визначити витрати виробництва на 30 одиниць товару за умови, що витрати залежать від об'єму продукції лінійно.
2.14. Перевезення вантажу з даного міста в перший пункт, що знаходиться на відстані 100 км, коштує 200 грош. од., а в інший, що знаходиться на відстані 400 км, – 350 грош. од. Встановити залежність вартості перевезення у від відстані х, якщо вартість є лінійна функція від відстані (якість доріг не враховується).
2.15. Скласти рівняння прямої, що відображає зміну врожайності 1 га протягом сімнадцяти років, якщо в перший рік з 1 га було зібрано 9,1 ц зернових культур, а в останній рік – 21 ц.
2.16. Припускається, що вартість машини, що переноситься на вартість виготовленої з її допомогою продукції, залежить від часу експлуатації t. Нехай первісна вартість у = 25 тис. грош. од., а термін роботи до повного зносу – 10 років. Побудувати лінію залежності вартості машини від терміну її служби. Чому буде дорівнювати вартість машини через 8 років?
2.17. Витрати перевезень двома видами транспорту виражаються функціями: у = 50х + 150, у = 25х + 250, де х – відстань перевезень, км; у – транспортні витрати, грош. од. При яких відстанях економніше користатися першим видом транспорту?
2.18. Побудувати криві байдужності
функції корисності
при рівнях корисності, рівних 2 і 3. Знайти
їх асимптоти.
2.19. Навести приклад функції, що описує бюджетне обмеження. Знайти її точки перетину з осями координат.
2.20. Навести приклад функції, що описує залежність величини попиту від доходу.
2.21. Навести приклад функції, що описує залежність пропозиції від ціни. Побудувати її графік.
2.22. Залежність рівня потреб у деякого
виду товарів від рівня доходу сім’ї
виражається
формулою:
.
Знайти рівень потреб товарів при рівні
доходу сім’ї 158 грош. од., якщо відомо,
що при
;
при
;
при
.
2.23. Побудувати графіки функцій
,
заданих параметрично, якщо:
а)
,
; б)
,
;
в)
,
; г)
,
.
2.24. Побудувати графіки функцій, заданих неявно:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
2.25. Побудувати графіки функцій
в полярній системі координат:
а)
(спіраль Архімеда); б)
(гіперболічна спіраль);
в)
(кардіоїда); г)
;
д)
(лемніската Бернуллі).
2.26. Довести, користуючись означенням, що послідовність є нескінченно малою:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
2.27. Довести, користуючись означенням, що послідовність є нескінченно великою:
а)
;
б)
;
в)
,
.
2.28. Довести рівності:
а)
; б)
;
в)
,
; г)
,
;
д)
,
; є)
.
2.29. Знайти найбільший елемент послідовності:
а)
;
б)
;
в)
.
2.30. Знайти найменший елемент послідовності:
а)
;
б)
.
2.31. Для послідовності
знайти
,
,
,
,
якщо:
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
.
2.32.–2.56. Знайти границі послідовностей:
2.32.
; 2.33.
;
2.34.
; 2.35.
;
2.36.
; 2.37.
;
2.38.
; 2.39.
;
2.40.
; 2.41.
;
2.42.
;
2.43.
;
2.44.
;
2.45.
; 2.46.
;
2.47.
; 2.48.
;
2.49.
;
2.50.
;
2.51.
;
2.52.
;
2.53.
;
2.54.
;
2.55.
;
2.56.
.
2.57. Нехай
початковий внесок
тис. грош. од. вкладено на чотири роки
під складні відсотки при ставці 100%
річних. Знайти нарощене значення внеску
за роками.
2.58. Нехай 3 млн. грош. од. видано в кредит на 6 місяців під прості відсотки за ставкою 10% за місяць. Знайти нарощене значення боргу наприкінці кожного місяця.
2.59. Суму 2000
грош. од. покладено в банк під схему
неперервного нарахування відсотків
при ставці 10% за рік. Знайти нарощену
наприкінці кожного року суму
при
,
2, 3, 5 і 10.
2.60. При одній і тій же процентній ставці при схемі неперервного нарахування відсотків вкладник С через 2 роки одержує 1000 грош. од., вкладник D через 4 роки одержує 600 грош. од. Знайти процентну ставку q, якщо початковий внесок вкладника С удвічі більше, ніж вкладника D.
2.61. Суму в 5 млн. грош. од. видано в кредит на 10 місяців під прості відсотки за ставкою 15% на місяць. Знайти нарощене значення боргу наприкінці кожного місяця.
2.62. Сума 600 тис. грош. од. інвестується на 5 років під складні відсотки за ставкою 80% річних. Знайти нарощену суму за цей термін.
2.63. Вклад 10 тис. грош. од. покладено
в банк під складні відсотки терміном
на 5 років. Обчислити кінцеву суму, якщо
відсотки нараховуються наприкінці
кожного кварталу за нормою
.
2.64. Розв’язати задачу 2.63 в припущені, що відсотки нараховуються неперервно. Порівняти результати.
2.65. Знайти складні відсотки за півтора роки, нараховані на 900 тис. грош. од. за ставкою 22% в квартал.
2.66. На терміновий вклад у банку зараховано 200 грош. од. за ставкою 5% річних. Знайти накопичені суми через 2б 3б 4б 5 років за умови:
а) нарахування простих відсотків;
б) нарахування складних відсотків;
в) неперервного нарахування відсотків.
2.67. Знайти початкове значення інвестиції, якщо нарощена сума до кінця п’ятого року становить 10 млн. грош. од. Відсотки нараховуються за такими ставками:
а) 100% наприкінці кожного року;
б) 50% наприкінці кожного півріччя;
в) 25% наприкінці кожного кварталу.
2.68. Довести,
користуючись означенням границі функції,
що
.
2.69.–2.112. Обчислити границі функцій
2.69.
. 2.70.
.
2.71.
. 2.72.
.
2.73.
. 2.74.
.
2.75.
. 2.76.
.
2.77.
. 2.78.
.
2.79.
. 2.80.
.
2.81.
. 2.82.
.
2.83.
. 2.84.
.
2.85.
. 2.86.
.
2.87.
. 2.88.
.
2.89.
. 2.90.
.
2.91.
. 2.92.
.
2.93.
. 2.94.
.
2.95.
. 2.96.
.
2.97.
. 2.98.
.
2.99.
. 2.100.
.
2.101.
. 2.102.
.
2.103.
. 2.104.
.
2.105.
. 2.106.
.
2.107.
. 2.108.
.
2.109.
. 2.110.
.
2.111.
. 2.112.
.
2.113. Довести,
що функції
та
при
є нескінченно малими одного порядку.
2.114. Довести,
що нескінченно малі при
функції
та
еквівалентні.
2.115.–2.120. Обчислити границі, використовуючи еквівалентні нескінченно малі.
2.115.
. 2.116.
.
2.117.
. 2.118.
.
2.119.
. 2.120.
.
2.121. Знайти асимптоти і побудувати наступні криві:
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
.
2.122. Нехай
.
Визначити порядок малості відносно
змінної
наступних функцій:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
2.123. Довести неперервність функцій у своїй області визначення:
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
.
2.124. Дослідити на неперервність функції і визначити характер точок розриву, побудувати графік функції:
а)
; б)
; в)
;
г)
д)
є)
; ж)
; з)
;
і)
; к)
;
л)
м)
н)
о)
п)
р)
;
с)
т)
.
2.125. Чи може
функція
на відрізку [1;3] набувати значення, рівне
10?
2.126. Чи має
рівняння
корені на відрізках:
а) [0;1]; б) [1;2]; в) [2;3].