103. 15. Істотні границі Перша істотна границя

Розглянемо границю . Функція парна, . За умовою , тому досить розглянути значення x, що задовольняють нерівності .

Візьмемо дугу кола радіуса і кут, радіанна міра якого дорівнює (рис. 2.31). На рис. 2.31:

Рис. 2.31.

Порівняємо площі трикутника , сектора і трикутника , що відповідно дорівнюють , , або , , . Очевидно , звідки . Розділимо останні нерівності на і одержимо , .

Функція розташована між функціями і , причому , тому за теоремою 2.5 одержимо

. (2.5)

Границя (2.5) називається першою істотною границею. Використовуючи першу істотну границю можна показати, що

. (2.6)

Дійсно, ,

і також

. (2.7)

Замінимо , звідки , причому при , . Одержимо .

Аналогічно, . (2.8)

Границі 2.5–2.8 допомагають розкрити невизначеність у випадку, якщо під знаком границі тригонометричні функції.

Приклад 2.10. Обчислити .

Розв’язання. Безпосередньою підстановкою замість граничного значення одержуємо невизначеність . Перетворимо даний дріб, застосувавши формулу , одержимо

Друга істотна границя

Границю виду:

(2.9)

називають другою істотною границею.

Можна використовуючи границю (2.9) показати, що:

; (2.10)

; (2.11)

. (2.12)

Приклад 2.11. Обчислити .

Розв’язання. Маємо

.

104. 16. Порівняння нескінченно малих

Нескінченно малі функції часто порівнюють між собою за швидкістю їхнього наближення до нуля. Нехай і нескінченно малі функції при .

Якщо , то говорять, що нескінченно мала більш високого порядку, швидше наближається до нуля, ніж , або нескінченно мала більш низького порядку, ніж при .

Якщо , то і називаються нескінченно малими одного порядку. Зокрема, якщо , то і називаються еквівалентними нескінченно малими при . Той факт, що й еквівалентні, записують так: при .

Наприклад, функції , при є нескінченно малими одного порядку, оскільки ; функція є нескінченно малою більш високого порядку, ніж , оскільки ; функції і є еквівалентними при , оскільки . Аналогічно можна показати, що при .

Теорема 2.6. Границя відношення нескінченно малих не змінюється при заміні їх еквівалентними нескінченно малими: якщо , , то .

Дійсно, помножимо і розділимо відношення послідовно на і , одержимо

оскільки .

При обчисленні границь часто буває корисно замінити нескінченно малу в чисельнику чи знаменнику дробу більш простою, еквівалентною їй нескінченно малою функцією.

Приклад 2.12. Обчислити .

Розв’язання. Оскільки при функції , – нескінченно малі, замінимо їхніми еквівалентами: , . Тоді .

105. 17. Неперервність функції в точці

Означення 2.11. Функція називається неперервною в точці , якщо вона визначена в точці та її околі, існує границя функції при , і ця границя співпадає зі значенням функції в точці , тобто

. (2.13)

Рівність (2.13) можна записати у вигляді

,

що дає можливість зробити наступний висновок: для функції, неперервної в точці, знаки функції і границі можна переставляти. Говорять, із границею можна переходити під знак функції. Наприклад,

.

З виразу (2.13) на підставі теореми 2.2 випливає, що чи , де функція нескінченно мала при або .

Назвемо різницю приростом аргументу, а різницю приростом функції. Введемо позначення: ; . Тоді можна сформулювати інше означення функції, неперервної в точці.

Означення 2.12. Функція називається неперервною в точці , якщо вона визначена в т. і нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції, тобто

. (2.14)

Означення 2.12 дає можливість стверджувати, що всі основні елементарні функції неперервні в кожній точці своєї області визначення.

Наприклад, для функції приріст в точці : . Тоді:

А це значить, що функція неперервна в кожній точці своєї області визначення.

Означення 2.13. Функція називається неперервною в точці , якщо вона визначена в точці , і границя функції в точці ліворуч дорівнює границі функції в точці праворуч і дорівнює значенню функції в точці. Записують так:

, (2.15)

або символічно .