§2.Составдоказательства

Вовсякомдоказательствебезотносительноктомучастномуиконкретному,чтовнёмобосновывается,всегдадолжныбытьналицоследующиетрисоставныечасти:тезис,основаниеиспособдоказательства(демонстрация).

1)Тезисомназываетсясуждениеилиположение,ис­

тинностькотороготребуетсядоказать.

Основноетребование,котороедолжнопредъявляться

ккаждомутезису,заключаетсявтом,чтобысодержание

доказываемоготезисабылоистинным,т.е.соответство­

валообъективнойдействительности.

2)Основаниями(доводамиилиаргументами)назы­

ваютсятесуждения,истинностькоторыхужеустанов­

ленаикоторыепоэтомумогутбытьприведенывподтвер­

ждениетезисавкачестведостаточногооснования.

Различаетсянескольковидовоснованийдоказатель­

ства.

Самымубедительнымизнихявляетсясовокупность

относящихсяктезисуфактов.

Точныеибесспорныефакты, взятые в их связи,

В.И.Ленинсчиталнетолько«упрямой»,ноибезуслов­

нодоказательнойвещью. Отдельные факты, выхва­

ченныеизобщейсвязи,подобранныепроизвольно,теряют

своюдоказательнуюсилу.«Подобратьпримерывообще,—

говорилВ.И.Ленин,—нестоит никакого труда,но

изначенияэтонеимеетникакого,иличистоотрицатель­

ное,ибовседеловисторическойконкретнойобстановке

отдельныхслучаев».

Вкачествеоснованиймогутприводитьсяопределения

основныхпонятий,принятыевданнойнауке.

Истинностьтезисавматематическихдоказательствах,

например,можетобосновыватьсянетолькоспомощью

системы фактовиопределений,атакже посредством

аксиомипостулатов.Существоаксиомынамужеизвест­

ноизпредыдущегопараграфа.Постулатжеоченьсходен

саксиомойиотличаетсяотнеёлишьтем,чтоонменее

общепризнан.

3)Способдоказательства—формысвязиисочетанияоснованийивыводовизоснований,которыедаютвоз­можностьдоказатьистинностьтезиса.

Способдоказательства—этопоследовательнаясвязьрядаумозаключений,цепьсуждений,котораядолжнаубедительнопоказать,чтодоказываемыйтезислогически,снеобходимостьювытекаетизпосылокилиаргументов,истинностькоторыхпроверенанапрактике.Простое,механическоесложениеотдельныхпосылокнеимеетдо­казательнойсилы.

Всеэтитрисоставныечастиобязательнодолжныбытьвкаждомдоказательстве.Вправильномдоказательстветезисиоснованияясноичёткоразграничены.

Номалознатьтезисииметьоснования,надоещёуметьлогическивывеститезисизоснований.Способ­ностьдоказываниянеявляетсячем-товрождённым,еёнадоразвивать.

§3.Доказательствапрямыеикосвенные

Поспособуведениявседоказательстваделятсянапрямыеикосвенные.

Допустим,намтребуетсядоказатьтакойтезис:

«Выборыдепутатоввверховный орган государст­

веннойвластиСССРпроизводятсянаосноверавногоиз­

бирательногоправа».

Данныйтезисмыобосновываемследующимиизвест­

нымивсемдоводами:

каждыйгражданинСССРимеетодинголос;

каждыйгражданинучаствуетввыборахдепутатовнезависимоотрасовойинациональнойпринадлежности,пола,вероисповеда­ния,образовательногоценза,оседлости,имущественногоположе­ния,социальногопроисхожденияипрошлойдеятельности.

Изэтихдоводовлогическивытекаетистинностьвы­ставленноготезисаотом,чтовСССРвыборыдепутатоввверховныйоргангосударственнойвластипроизводятсянаосноверавногоправа.

Чтохарактернодляданногоходадоказательства?То,чтоиздоводовпрямовытекаетистинностьтезиса.

Доказательство,вкоторомдоводынепосредственнообосновываютистинностьтезиса,называетсяпрямымдо­казательством.

Нонередкоприходитсявстречатьсястакимположе­нием,когдадоводов,которыепрямодоказывалибыистин­ностьтезиса,вданныймоментнеимеется.

Какжепоступатьвтакомслучае?

Надонайтидоводы,которыедоказывают,чтосужде­ние,противоречащеетезису,ложно.Найдятакиедоводы,надозатемдоказатьложностьсуждения,противоречащеготезису.Иззаконаисключённоготретьегоизвестноследую­щее:еслидоказано,чтоданноесуждениеложно,тоизэтогонеобходимоследует,чтопротиворечащееемусуж­дениеистинно.

Доказательство,вкоторомистинностьтезисаобосно­вываетсяпосредствомопроверженияистинностидругихположений,называетсякосвеннымдоказательством.

Косвенноедоказательствоможетбытьилиапагоги­

ческим,илиразделительным.

Способдоказательствавапагогическомкосвенномдоказательствезаключаетсявследующем:вначалеопро­вергаетсяположение,противоречащеедоказываемомуте­зису,азатем,наоснованиизаконаисключённоготретьего,согласнокоторомуиздвухпротиворечащихвысказыва­нийодноистинно,адругоеобязательноложно,устанав­ливается,чтодоказываемыйтезиснеобходимоистинен.

Апагогическоекосвенноедоказательствочастовстре­чаетсявматематике.Припомощиегодоказывается,на­пример,положение,чтовтреугольнике,вкоторомдваугларавны,равнытакжеипротиволежащиеимстороны.Ходдоказательстваразвёртываетсяследующимобразом.ПустьвтреугольникеABCуголАравняетсяуглуВипустьпротиволежащиеимстороныбудутАСиВС.Требуетсядоказать,чтоАСравноВС.

Вцеляхдоказательствадопускается,чтоистиннопо­ложение,противоречащеетезису,т.е.чтоАСнеравноВС.Тогдаизэтогопоследнегоположения,согласнотео­реме,чтововсякомтреугольникепротивбольшегоуглалежитбольшаясторона,будетследовать,чтоуголАдол­женбытьилибольше,илименьшеуглаВ.Нотаккакэтотвыводпротиворечитпринятомуположению,топротиво­речащеетезисуположениеявляетсяложным.Отсюдасле­дует,чтоистиннымдолжнобытьположение,противоре­чащееему,аименно—тезис.

Припомощиэтогоспособадоказательства,которыйназываетсятакжедоказательствомотпротивного,обо­сновываетсяистинностьтакой,например,теоремыгео­метрии:

_{«Дваперпендикуляракоднойитойжепрямойнемогутпе­}

ресечься,сколькобыихнипродолжали:».

Ходдоказательстваразвёртываетсяследующимобразом.Допу­стимнаминуту,чтоистинноположение,противоречащеетезису,т.ечто«Дваперпендикуляракоднойитойжепрямойприпро­должениипересекаются».Тогдаизэтогопоследнегоположенияследует,чтоизточки,лежащейвнепрямой,можноопуститьнаэтупрямуюдваперпендикуляра

Ноэтотвыводложен,ибомызнаемдоказаннуюужетеоремуотом,что«Извсякойточки,лежащейвнепрямой,можноопуститьнаэтупрямуютолькоодинперпендикуляр».

Аразложноутверждение,чтоизвсякойточки,лежащейвнепрямой,можноопуститьнаэтупрямуюдваперпендикуляра,толожноидопущенноенаминаминутуположениеотом,чтодваперпендикуляракоднойитойжепрямойприпродолжениипере­секаются,ибоэтоестьтакженарушениетеоремыотом,что«Извсякойточки,лежащейвнепрямой,можноопуститьнаэтупрямуютолькоодинперпендикуляр».Ведьдваперпендикуляра,пересе­кающиесяприпродолжении,естьдваперпендикуляра,опущенныеизоднойточкинаэтужесамуюпрямую.

Такмыдоказали,чтодопущенноенаминутувкачествеистин­ногоположение,противоречащеенашемутезису,отом,что«Дваперпендикуляракоднойитойжепрямойприпродолжениипере­секаются»,ложно.

_{Врезультатемыполучилидвапротиворечащихсуждения:«Пер­}

пендикулярыпересекаются»и«Перпендикулярынепересекаются».

Позаконуисключённоготретьегоизвестно,чтоиздвухпротиво­речащихсужденийоднонеобходимоложно,адругоенеобходимоистинноитретьегомеждунимибытьнеможет.Действительно,перпендикулярыкоднойитойжепрямойилипересекаются,иланепересекаются.Никакоготретьегоположениядажепредставитьневозможно.

Аразмыдоказали,чтосуждение«Дваперпендикуляракоднойитойжепрямойприпродолжениипересекаются»ложно,тоотсюдасовершеннонеобходимоследует,чтопротиворечащеесуж­дение«Дваперпендикуляракоднойитойжепрямойнемогутпе­ресечься,сколькобыихнипродолжали»—истинно.Чтоитребо­валосьдоказать,какговорятвтакомслучаегеометры.

Разделительноекосвенноедоказательствоприменяет­сявтехслучаях,когдаизвестно,чтодоказываемыйтезисвходитвчислофактов,которыевсвоейсуммеполностьюисчерпываютвсевозможныефактыподанномувопросу.

Способтакогодоказательствазаключаетсявследую­щем:отвергаютсявсефакты,кромеодного,которыйияв­ляетсядоказываемымтезисом.

Так,еслиустановлено,чтопервенствошколывбегена100метровоспаривалитолькоучащиесяК.,В.иД.,иеслиприэтомнамсталоизвестно,чтониК.,ниВ.неоказалисьпервыми,тотемсамымдоказано,чтопервен­ствозавоёваноученикомД.

Ошибка,котораяиногдавстречаетсявразделитель­номкосвенномдоказательстве,состоитвтом,чтоиссле­дуютсяневсевозможныефакты.Истинностьтезисадоказываетсятолькоприусловииопровержениявсехвозможныхпредположенийпорассматриваемомувопро­су,кромеодного.

Применениекосвенногодоказательствасвязаносиз­вестнойтрудностью.Впроцессекосвенногодоказатель­стваприходитсявременноотклонятьсяоттоготезиса,которыйобсуждается,привлекатьдополнительныймате­риал,что,конечно,осложняетвесьпроцессрассуждения.Ноэтотприёмдоказательстванужнознать,потомучтовпрактическойжизнинередкоприходитсяиметьделостакимположением,когдааргументов,которыебыпрямодоказывалиистинностьтезиса,вданныймоментнеимеется.