6. Примеры геометрических задач, сводящихся к уравнениям, неразрешимым в квадратных радикалах

Поставим вопрос о возможности того или иного геометрического построения с помощью циркуля и линейки. Такой вопрос относится скорее к алгебре многочленов, нежели к геометрии. Впервые это понял, наверное, Гаусс. В 1801 году в работе «Арифметические исследования» он установил связь между построением правильного

n – угольника и решением уравнения в поле комплексных чисел. Он показал, что если , то n-угольник построить можно.

Например, можно с помощью циркуля и линейки построить правильный

5-угольник, так как ;

17-угольник, так как .

В геометрии показывается, что корни уравнения с рациональными коэффициентами могут быть построены с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда это уравнение разрешимо в радикалах, то есть когда решение этого уравнения сводится к решению цепочки квадратных уравнений. Покажем, как доказывается неразрешимость некоторых классических задач на построение циркулем и линейкой.

Задача об удвоении куба

Построить куб, объем которого вдвое больше объема данного куба. Для того, чтобы трактовать эту задачу как задачу на построение на плоскости, нужно понимать её так: на плоскости дан отрезок, равный ребру искомого куба. Итак, пусть дан отрезок – ребро данного куба. Примем этот отрезок за единицу измерения.

Тогда объем данного куба равен .

Объем искомого куба равен 2, значит ребро искомого куба равно . Но число является корнем уравнения .

Значит, длина x ребра искомого куба удовлетворяет условию:

(6). Но это уравнение имеет корни: - комплексные.

То есть, это уравнение не имеет рациональных корней. А, значит, оно неразрешимо в квадратных радикалах. А это значит, что корни уравнения (6) не могут быть построены с помощью циркуля и линейки.

Задача о трисекции угла

Разделить данный угол на три равные части. Очевидно, что существуют углы, которые можно разделить на три равные части с помощью циркуля и линейки, например прямой угол. Но эту задачу надо понимать так: требуется указать алгоритм трисекции угла с помощью циркуля и линейки, применимый к любому углу. Пусть угол АОВ равен φ – мера угла в радианах, а угол АОВ – произвольный угол. Проведем окружность произвольного радиуса с центром в точке О. Выберем систему координат с центр в точке О и осью ОХ, совпадающий с прямой ОА. Пусть ОА – единичный отрезок, тогда точка А имеет координаты (1,0). Пусть точка К – проекция точки В на ось ОХ, тогда К имеет координаты (cos φ, 0). Пусть теперь точка В1 – такова, что угол АОВ1 = 1/3 угла АОВ, то есть равен φ/3, а К1- проекция точки В1 на ось ОХ. И задача о трисекции угла может пониматься как задача построения точки В1 по точкам А, О, К, так чтобы точка В1 имела координаты (cos φ,0).

Найдем

(cos φ/3 + ί sin φ/3) = cos φ + ί sin φ (по формуле Муавра)

С другой стороны

(cos φ/3 + ί sin φ/3) = cos φ/3 + 3 ί cos φ/3 sin φ/3 - 3 cos φ/3 sin φ/3- – ί sin φ/3 = cos φ/3 ( cos φ/3 - 3 sin φ/3) + ί sin φ/3 ( 3cos φ/3 - -sin φ/3)