- •Алгебра
- •График учебного процесса
- •III семестр
- •IV семестр
- •1. Цели и задачи дисциплины, место в учебном процессе, требования к уровню содержания дисциплины.
- •2. Технологическая карта дисциплины
- •3. Содержание дисциплины
- •Самостоятельная работа (темы , выносимые на срс и методическая поддержка срс)
- •Литература для самостоятельной работы
- •4. Организация текущего и промежуточного контроля знаний
- •5. Методические рекомендации преподавателю
- •6. Работа с ресурсами Internet
- •7. Материальное обеспечение дисциплины
- •8. Методическое обеспечение дисциплины:
- •Глоссарий
- •Вопросы, выносимые на экзамены
- •III семестр
- •IV семестр
- •Методические рекомендации по организации внеаудиторной и аудиторной самостоятельной работы студентов
- •Контрольно - измерительные материалы
- •III семестр Модуль 1
- •Модуль 2 Контрольная работа по теме «Многочлены от одной переменной»
- •IV семестр Модуль 1 Тест по теме «Многочлены над полем рациональных чисел» для межсессионного учета знаний
- •Контрольная работа по теме «Многочлены над полями рациональных, действительных и комплексных чисел»
- •Модуль 2 Контрольная работа по теме «Расширения полей и задачи, связанные с этим»
- •Методические указания по подготовке практических занятий
- •Методические рекомендации по выполнению курсовых работ
- •Темы курсовых работ
- •1. Вопросы делимости и решения уравнений в кольце целых чисел.
- •. Программа итоговой государственной аттестации студентов
- •Группы и подгруппы
- •Группа подстановок
- •Подгруппы
- •Циклические группы
- •Разложение группы по подгруппе
- •6. Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Нормальные делители. Фактор - группы.
- •1. Нормальные делители
- •2. Фактор – группы
- •Гомоморфизмы групп
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Элементарные сведения о кольцах
- •Кольцо с единицей
- •Делители нуля. Область целостности
- •Поле частных
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Гомоморфизмы колец
- •Понятие идеала. Примеры
- •Операции над идеалами
- •Сравнения и классы вычетов по идеалу. Фактор – кольцо
- •Гомоморфизм колец. Теорема о гомоморфизмах
- •Характеристика кольца с единицей
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Делимость в области целостности
- •2. Кольцо главных идеалов
- •Евклидовы кольца.
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •1. Многочлены над полем
- •2. Кольцо многочленов как евклидово кольцо
- •3. Техника деления с остатком. Схема Горнера
- •4. Теорема Безу
- •5. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида
- •6.Наименьшее общее кратное
- •7. Неприводимые многочлены
- •8. Каноническое разложение многочлена
- •9. Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
- •Комплексных чисел
- •1. Вводные замечания
- •2. Свойства модуля многочлена
- •3. Основная теорема алгебры комплексных чисел
- •4. Разложение многочлена над полем с в произведение линейных множителей
- •5. Разложение многочленов над полем r в произведение неприводимых множителей
- •6 Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •IV семестр
- •Приводимость и неприводимость многочленов над полем действительных, комплексных и рациональных чисел
- •Рациональные корни многочлена с рациональными коэффициентами
- •Понятие алгебраического числа
- •1. Вводные замечания
- •2. Свойства модуля многочлена
- •3. Основная теорема алгебры комплексных чисел
- •4. Разложение многочлена над полем с
- •5. Разложение многочленов над полем r
- •6 Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •1. Алгебраические числа.
- •2. Простое алгебраическое расширение поля.
- •3. Уничтожение иррациональности в знаменателе.
- •4. Конечные расширения полей.
- •6. Вопросы и упражнения для самостоятельной работы.
- •Лекции 7-8
- •Поле алгебраических чисел
- •Понятие разрешимости в квадратных радикалах
- •Определение 1. Алгебраическое уравнение
- •Связь с расширением числовых полей
- •4. Признаки того, что число выражается в квадратных радикалах.
- •5. Общий критерий разрешимости в квадратных радикалах
- •6. Примеры геометрических задач, сводящихся к уравнениям, неразрешимым в квадратных радикалах
- •Задача об удвоении куба
- •Задача о трисекции угла
- •Задача о квадратуре круга
- •7. Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
4. Разложение многочлена над полем с
в произведение линейных множителей
Из доказанной основной теоремы 4 вытекает ряд важных следствий.
Теорема 5. Каждый многочлен, степень которого больше единицы, приводимый над полем комплексных чисел.
□ Пусть – многочлен степени . В соответствии с основной теоремой существует хотя бы один корень этого многочлена. Но тогда делится на , т.е. .
Очевидно, что степень многочлена не равна нулю. Тем самым проводимость над полем С доказана. ■
Следствие. Для того, чтобы многочлен был неприводим над полем комплексных чисел, необходимо и достаточно, чтобы его степень была равна единице.
Теорема 6. Каждый многочлен n –й степени над полем комплексных чисел единственным способом (с точностью до порядка множителей) разлагается на линейные множители над этим полем.
,
где – корни, а – старший коэффициент многочлена .
□ Ранее мы доказали, что каждый многочлен над полем С можно разложить в произведение неприводимых над этим полем многочленов , причем многочлены определены однозначно с точностью до постоянного множителя. Но над полем С неприводимыми являются только линейные многочлены. Следовательно, все многочлены первой степени, и поэтому их число . Т.к. определяются с точностью до полного множителя, то можно считать нормированными, т.е. . Тогда может отличаться от произведения всех только постоянным множителем, т.е.
Приравнивая старшие коэффициенты в обеих частях этого равенства, видим, что . Очевидно, что числа являются корнями . Обозначая из через получим разложение (18), однозначное с точностью до порядка множителей. ■
Из разложения (18) вытекает, что никакое комплексное число отличное от не может быть корнем многочлена . Т.е. справедливо утверждение.
Теорема 7. Многочлен n-й степени в поле комплексных чисел имеет ровно n-корней.
Из разложения (18) видно также, что все корни над полем С принадлежат этому же полю С, т.е. полем разложения всякого многочлена с комплексными коэффициентами есть поле С комплексных чисел. Следовательно, поле С алгебраически замкнуто.
Эти результаты показывают, что только при переходе к комплексной области можно создать общую теорию алгебраических уравнений; в поле Q или в поле R те или иные уравнения могут вообще не иметь корней или иметь только некоторые из них.
Т.к. в разложении (18) многочлена над полем С могут быть кратные множители, то в этом случае разложение (18) будет иметь вид
(19)
– корни , среди которых нет равных между собой .
В этом случае теорема 7 и формулы Виета справедливы, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.
5. Разложение многочленов над полем r
в произведение неприводимых множителей
Уравнения с действительными коэффициентами являются распространенным частным случаем алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами. Так поле R – подполе поля С, то все результаты пункта 4 остаются в силе и для многочленов над полем R, т.е. всякий многочлен n- степени с действительными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней. Но иногда особый интерес представляют именно действительные корни уравнений с действительными коэффициентами. Конечно, уравнения с действительными коэффициентами вообще могут не иметь действительных корней, например, уравнение .
Но оказывается, что основная теорема алгебры комплексных чисел дает возможность делать ряд выводов и относительно наличия действительных корней с действительными коэффициентами.
Теорема 8. Если комплексное число является корнем многочлена с действительными коэффициентами
, (19)
то сопряженное комплексное число тоже является корнем этого многочлена.
□ Вычислим и отметим в этом числе действительную и мнимую части
т.к. – корень , то , отсюда .
Найти аналогично . Так как все коэффициенты многочлена – действительные числа, то и поэтому
(20)
Сравнивая (19) и (20), видим, что можно получить из всех чисел, заменой их на сопряженное. Т.к. над этими числами выполняются только операции сложения и умножения, то на основании свойств комплексно сопряженных чисел, и является сопряженными комплексными числами, т.е. . Но так как , то . ■
Теорема 9. Если комплексное число является корнем к – й кратности многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное комплексное число также является корнем той же кратности многочлена .
□ Так как – корень кратности к многочлена , то
(21)
Но все производные от многочлена с действительными коэффициентами суть тоже многочлены с действительными коэффициентами. Поэтому, применяя теорему 8 к , можно сделать вывод, что .
С другой стороны, , т.к. из следовало бы , а это противоречит (21). Следовательно, является корнем многочлена той же кратности к. ■
Теорема 10. Каждый многочлен с действительными коэффициентами, степень которого превышает 2, приводим над полем R.
□ Пусть – некоторый корень многочлена . Возможны два случая.
а) – действительное число. Тогда по теореме Безу в поле R справедливо представление , причем и степень . В этом случае теорема справедлива: приводим над R.
б) – комплексный (не действительный) корень . Тогда по теореме 9 комплексное число тоже является корнем этого многочлена и поэтому делится как на линейный множитель , так и на . Значит,
А это значит, что .
Учитывая, что и – действительные числа, видим, что делится на многочлен второй степени с действительными коэффициентами. Т.к. – многочлен степени выше второй, то степень Т.о., многочлен является приводимым над R. ■
Теорема 11. Каждый многочлен с действительными коэффициентами единственным образом разлагается над полем R в произведение линейных множителей и квадратных трехчленов.
Это утверждение непосредственно вытекает из теорем 7 и 10.
Пример 1. Многочлен не имеет ни одного действительного корня. Его корнями являются попарно сопряженные комплексные числа.
Значит
– разложение над полем С.
А разложение над R имеет вид: