Контрольно - измерительные материалы

III семестр Модуль 1

Тест для межсессионного учета знаний по теме: »Группы и кольца»

1. Какие из указанных алгебр являются группами:

I. <Z, ->; II. <2Z, +>; III. <A, +>, где А={0, 1}; IV. <B, *>, где В={-1, 1}

1). только I, 2). только I и II, 3) только II и IV, 4). только III, 5). I, II, IV.

2. Порядок элемента мультипликативной группы невырожденных

матриц второго порядка равен…

1). ∞; 2). 4; 3). 2; 4). 3.

3. Подгруппой аддитивной группы целых чисел является…

1). множество нечетных чисел:

2). множество четных чисел;

3). множество натуральных чисел;

4). множество {0, 1}.

4. Группа S₃ подстановок третьей степени имеет

1). 6 подгрупп;

2). 3 подгруппы;

3). 1 подгруппу;

4). 2 подгруппы.

5. В группе Z₆ классов вычетов по модулю 6 делителями нуля является:

1). 2 и 4; 2). 2 и 5; 3). 2 и 3; 4). 3 и 5.

6. Группа, у которой множество всех подгрупп состоит только из одной подгруппы это - …

1). циклическая группа простого порядка;

2). группа, состоящая только из единого элемента;

3). циклическая группа порядка р², где р – простое число.

7. Какие из указанных отображений группы <R⁺, *> в группу <R, +> являются изоморфизмами:

1). φ(х)=ln x; 2) φ(х)=|ln x|; 3). φ(х)=х/2; 4). φ(х)=е^х?

8. Группа G, в которой для любого аЄG, а²=е…

1). циклическая; 2). бесконечная; 3). второго порядка;

4). абелева; 5). не определена.

9. Разложение произвольной группы G по её единичной подгруппе состоит из…

1). всех одноэлементных подмножеств группы G;

2). единственного смежного класса G;

3). трех смежных классов;

4). всех элементов группы G.

10. Сколько подгрупп может содержать группа G , содержащая 17 элементов?

1). четыре подгруппы;

2). ни одной подгруппы;

3). одну подгруппу;

4). две подгруппы.

11. Фактор-группа аддитивной группы Z₈ вычетов по модулю 8 по её нормальному делителю Н={0, 4} состоит из элементов:

1). {0, 4}; {2, 3}; {7, 1}; {8, 6};

2). {0, 4}; {2, 6}; {3, 7}; {5, 1};

3). {0, 4, 2}; {3, 5, 6}; {7};

4). {0, 4, 3, 6}; {1, 2, 7, 5}.

12. Если конечная группа G содержит подгруппу порядка 5, но без элемента, противоположного себе, то порядок группы G равен:

1). 27; 2). 28; 3). 35; 4). 37; 5). 40.

13. Какие из следующих множеств являются подкольцами кольца комплексных чисел:

а). {a+b√3 | а, bЄZ}; b). {x/3 | xЄZ}; c). 3Z; d). {a+bi | a, bЄ2Z}.

1). только с; 2). только а и с; 3). только а, с, d; 4). только b; 5). а, b, с, d.

14. Если в кольце К для любых элементов а и b выполняется равенство (a+b)²=а²+2ab+b², то кольцо:

а). без делителей нуля; b). коммутативные; с). кольцо с единицей;

d). не определено; е). конечное.

1). только с; 2). только b; 3). только а и b; 4). только с и d; 5). а, b, с, d, e.

15. Какие из следующих равенств верны для любых элементов а, b и с любого кольца К:

а). если а+b=а+с, то в=с; b). а-в=а+(-b); с). –(а+b)=-а-b;

d). –(а-b)=b-а; е). а*b=b*a.

1). только а и b; 2). только с, d и е; 3). только а, b, с, d; 4). а, b, с, d, е.

16. Множество, состоящее из нулевого элемента, т.е. множество {0} является:

1). полем; 2). только группой; 3). только кольцом;

4). группой и кольцом; 5). ничем из перечисленного.

17. В кольце Z₇ делителями нуля являются:

1). 2 и 4; 2). 1 и 6; 3). делителей нуля нет; 4). 1, 6, 4 и 5.

18. Будут ли идеалами кольца Z[i]={a+bi | a, bЄZ} множества:

а). множество Z; b). множество {a+bi | a, bЄ2Z};

с). множество {a+bi | a, bЄZ и а=b}

1). только а и b; 2). только b; 3). только b и с; 4). только с.

19. Дано кольцо А={m+n√3 | m, nЄZ}. Будут ли его идеалами следующие подмножества:

а). В={m+n√3 | m, n - четные}; b). С={m+n√3 | m, n - нечетные};

с). D={n√3 | nЄZ}

1). только а и b; 2). только b и с; 3). только а; 4). только а и с.

20. Фактор-кольцо кольца Z целых чисел по главному идеалу (4), порожденному числом 4 состоит из n элементов, где:

а). n=1; b). n=2; c). n=4; d). n=5.

1). b; 2). c; 3). a; 4). d.

21. В каких кольцах два элемента заведомо имеют наибольший делитель:

а). в кольце главных идеалов;

b). просто в области целостности;

с). в кольце без делителей нуля;

d). в любом кольце?

1). только в с; 2). только в а и с; 3). только в а; 4). в d.

22. В каком виде можно представить наибольший общий делитель d двух элементов а и b в кольце главных идеалов:

а). d=a*b; b). d=a+b; c). d=a*u+b*v, где u, v – элементы кольца;

d). d=(a, b), где (а, b) – идеал, порожденный элементами а и b?

1). b; 2). с; 3). d; 4). а.

23. Какие из указанных отображений кольца Z целых чисел в кольцо R действительных чисел являются гомоморфными:

а ). φ(х)=х+1; b). φ(х)=|x|; c). 1/х, если х ≠ 0 d). φ(x)= φ(х)=х²?

0; если х=0.

1). только b; 2). только а и b; 3). только с и d; 4). ни одно.

24. Наибольший общий делитель (НОД) двух элементов а и b евклидова кольца К равен:

а). а*b; b). a; c). b; d). последнему, отличному от нуля остатку в алгоритме Евклида.

1). а; 2). с; 3). d; 4). b.

25. Группа, состоящая из трех элементов, является:

а). циклической; b). бесконечной; с). второго порядка;

d). абелевой; е). неопределенной.

1). а и b; 2). с; 3). d; 4). е

26. Если в кольце К для любых элементов а и b выполняется равенство а²-b²=(a-b)(a+b), то кольцо:

а). без делителей нуля; b). коммутативное; с). кольцо с единицей;

d). конечное; е). не определено.

1). только d; 2). только а и b; 3). только а, с и d; 4). только b; 5). а, b, с, d.

27. Ассоциированные элементы кольца, это:

1). равные элементы;

2). элементы, порождающие один и тот же идеал;

3). обратимые элементы;

4). элементы, произведение которых равно нулевому элементу кольца.

28. В кольце Z[i] целых гауссовых чисел существуют такие разложения для 5 на простые множители 5=(1+2i)(1-2i) и 5=(-2+i)(-2-i).

При этом второе разложение получается из первого путем умножения на обратимый элемент –i. Это значит, что:

а). эти элементы разложения различны;

b). эти разложения одинаковы.

1). а; 2). b.

29. Делители нуля есть в следующих кольцах:

а). в Z; b). в Z₆; c). в Z₁₁; d). в R.

1). только в Z и Z₁₁; 2). только в Z₁₁; 3). ни в одном из этих колец; 4). только в Z₆.

30. Какой главный идеал порождается в кольце Z числом 7:

а). Y₁={7k+1 | kЄZ};

b). Y₂={7k+m | k, mЄZ};

c). Y₃={7a+7b | aЄZ, bЄQ};

d). Y₄={7k | kЄZ}.

1). только Y₃; 2). только Y₂ и Y₃; 3). только Y₄; 4). толькоY₁.