6 Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения

1. Как определить число корней (с учетом кратностей) многочлена над полем С?

2. Какие многочлены неприводимы в кольце С [x]?

3. Разложите на линейные множители в кольце С [x] многочлены:

а) ; б) ; в) ; г) .

4. Разложите на неприводимые множители в кольце

а) ; б) ; в) ; .

5. Найдите корни уравнения с действительными коэффициентами, зная, что является к – кратным корнем:

а)

б)

IV семестр

Лекции 1-236

Приводимость и неприводимость многочленов над полем действительных, комплексных и рациональных чисел

1. Привордимость и неприводимость многочленов над полем рациональных чисел.

2. Рациональные корни многочленов с рациональными коэффициентами.

3. Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения.

Наличие рациональных корней у произвольно взятого алгебраического уравнения – явление довольно редкое. Поэтому нахождение таких корней не имеет большого практического значения. Но если уравнение с рациональными коэффициентами имеет рациональные корни, то во многих случаях эти корни можно найти с помощью совершенно элементарных способов.

В связи с этим целесообразно рассматривать элементарные способы нахождения рациональных корней многочленов из кольца .

Основное отличие многочленов над полем Q рациональных чисел от многочленов над полем R действительных чисел или полем С комплексных чисел состоит в том, что существуют многочлены с рациональными коэффициентами сколько угодно большой степени, неприводимые над полем рациональных чисел, тогда как в кольце приводим каждый многочлен, степень которого больше единицы, а в кольце приводим каждый многочлен, степень которого больше 2, даже если этот многочлен не имеет ни одного действительного корня.

Рассмотрим некоторые свойства многочленов с рациональными коэффициентами.

Прежде всего, заметим, что всякое алгебраическое уравнение с рациональными коэффициентами умножениемна общий знаменатель всех коэффициентовможно свести к равносильному уравнению с целыми коэффициентами.

Пример 1. Уравнение умножением на 6 можно свести к виду .

Поскольку удобнее иметь дело с целыми, а не с дробными числами, то в дальнейшем мы будем стараться сводить все вопросы относительно многочленов над полем Q к соответствующим вопросам относительно многочленов С с целыми коэффициентами.

Определение. Многочлен p(x) с целыми коэффициентами называется примитивным, если его коэффициенты не имеют общих делителей, отличных от .

Пример 2. Многочлен – примитивный, а многочлен примитивным не является.

Как известно, справедливо слеующее утверждение:

Лемма. Произведение двух примитивных многочленов является примитивным многочленом.

Рассмотрим теперь вопрос о приводимости многочлена с целыми коэффициентами над полем рациональных чисел.

Теорема 1. Для того, чтобы многочлен с целыми коэффициентами был приводим над полем рациональных чисел, необходимо и достаточно, чтобы он был приводим над кольцом Z целых чисел, т.е. чтобы существовали многочлены и ненулевой степени с целымит коэффициентами такие, что = .

Доказательство. □ 1) необходимость условия. Пусть дан многочлен с целыми коэффициентами , приводимый над полем Q рациональных чисел, т.е. = , где и – многочлены не нулевой степени с рациональными коэффициентами.

Приводя коэффициенты многочленов и к общим знаменателям и вынося за скобки их наибольший общие делители, получим .

При этом будем считать, что и . Очевидно многочлены и являются примитивными. Теперь . Покажем, что дробь является целым числом. Предположим противное, а именно, что , где p и q взаимно простые числа. Произведение по лемме является примитивным многочленом. Пусть С_k – k –ый коэффициент многочлена S(x). Произведение должен быть целым числом, т.к. многочлен по условию имеет целые коэффициенты, т.к. p и q взаимно простые числа, то С_k должен делиться на q. Т.к. это верно при любом k, то все коэффициенты S(x) должен делится на q, имея тем самым, общий делитель, что противоречит примитивности многочлена S(x). Следовательно, , где m – целое число. Полагая теперь , , получим , где и – многочлены нулевой степени с целыми коэффициентами.

2) Достаточность условия. Если многочлен приводимый над кольцом Z целых чисел, то он тем более приводим над полем Q, ибо ■

Теорема 1 полностью сводит вопрос о приводимости многочленов над полем Q к приводимости их над кольцом Z целых чисел.

Теорема 2. (Эйзенштейна)

Если в многочлене с целыми коэффициентами коэффициенты делятся на некоторое простое число р, а старший коэффицуиент не делится на р, причем не делится на р², то многочлен неприводим над полем рациональных чисел.

□ В силу теоремы 1 достаточно показать, что при этих условиях не может быть произведением двух многочленов нулевой степени с цеылми коэффициентами. Допустим противное, т.е., что

Будем считать для конкретности . Сравнивая коэффициенты при равных степенях x в левой и правой частях равенства, получим:

По условию теоремы , т.е. должно делится на р, но не модет делится на р². Поэтому на р делится только одно из чисел или . Пусть, например , а не делится на р. Но тогда из второго равенства (1) следует, что делится на р (ибо делится на р по условию, а не делится). Теперь уже и делится на р, поэтому из третьего равенства видно, что делится на р. Аналогично можно показать, что все коэффициенты и делится на р. Но это не возможно, т.к. тогда и делилось бы на р (это вытекает из последнего равенства (2)), что противоречит условию теоремы.■

С помощью теоремы 2 (критерия Эйнштейна) можно решить вопросы о неприводимости над полем рациональных чисел ряда многчленов из кольца .

Пример 3. Многочлен неприводим над полем Q, ибо его коэффициенты удовлетворяют условиям критерия Эйнштейна при р=2.

Однако основное значение теоремы 2 состоит в том, что из нее вытекает существование многочленов сколько угодно большой степени с целыми коэффициентами, неприводимых над полем Q. В частности, при всяком натуральном n и простом р многочлен является неприводимым над Q.

Таким образом, основываясь на критерий Эйнштейна, мы доказали справедливость следующего утверждения.

Теорема 3. В кольце многочленов над полем рациональных чисел существуют неприводимые многочлены любой степени.

Из предыдущего ясно, что многочлен с рациональными коэффициентами, степень которого больше 1, имеет хотя бы один рациональный корень, приводимый над полем Q. Для многочленов 3-й степени верно и обратное утверждение:

Теорема 4. Если многочлнен 3-й степени с рациональными коэффициентами не имеет рациональных корней, то он неприводим над полем рациональных чисел.

□ Допустим противное. Пусть , где и многочлены нулевой степени из кольца . Поскольку сумма степеней и равна 3, то один из этих многочленов должен обязательно иметь степень, равную 1, а другой – равную 2. Пусть – многочлен 1-й степени с рациональными коэффициентами, . Но тогда число является рациональным корнем многочлена , а поэтому и многочлена . Получается, что имеет рациональные корни, что противоречит условию теоремы.■

Пример 4. Многочлен неприводим над полем Q ибо не имеет рациональных корней. По критерию Эйнштейна вопрос о неприводимости этого многочлена непосредственно решить нельзя.