6. Вопросы и упражнения для самостоятельной работы.
Что такое алгебраическое число?
Что такое минимальный многочлен алгебраического числа?
Каким свойством обладает минимальный многочлен любого алгебраического числа?
4. Какой
минимальный многочлен у числа
-
?
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби 1/( +2 -1).
В каком случае поле Р( ) является конечным векторным пространством над полем Р?
Что называют конечным расширением числового поля?
Докажите, что если а - алгебраическое число, то всякое число из поля Q( ) также является алгебраическим.
Докажите, что сумма двух алгебраических чисел является алгебраическим числом.
Лекции 7-8
Разрешимость алгебраических уравнений в квадратных радикалах. Признаки того, что уравнение разрешимо в квадратных радикалах
План: 1. Поле алгебраических чисел
2. Понятие разрешимости в квадратных радикалах
3. Связь с расширениями числовых полей
4. Признаки того, что число выражается в квадратных радикалах
5. Общий критерий разрешимости в квадратных радикалах
6. Примеры задач, сводящихся к уравнениям, не разрешимым в квадратных радикалах
7. Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
Поле алгебраических чисел
Рассмотрим совокупность A(P) всех алгебраических чисел над полем P, т.е. множество корней всех многочленов из P [x].
Теорема 1. Совокупность A (P) алгебраических чисел над полем P есть поле.
Доказательство:
Достаточно показать, что вместе с какими-
либо двумя алгебраическими числами α
и β, множество A(P) содержит α+β, α∙β,-α,
и что 0 A (P), 1
A (P). Последнее вытекает из того, что Q
P
A(P). (1)
Пусть теперь α A(P), β A(P). Рассмотрим алгебраически порожденное расширение P (α,β).Это расширение алгебраическое и поэтому каждое его число содержится в A(P). В частности, числа α+β, α∙β, -α, , которые принадлежат P(α,β) принадлежат и A(P).
Следствие: Множество A=A(Q) всех алгебраических чисел есть поле.
Из определения A(P) и теоремы 1 ясно, что A(P) есть алгебраическое расширение поля P. Покажем, что в общем случае это расширение не конечное. Для этого достаточно проверить, что поле A – не конечное расширение поля Q рациональных чисел. Но это действительно так, поскольку в кольце Q [x] существуют неприводимые многочлены сколько угодно большой степени. Значит, в A существуют числа сколь угодно большой степени относительно поля Q. Но тогда A не может быть конечным расширением поля Q, т.к. степень конечного расширения поля P не может быть меньше степени каждого элемента относительно P. Из этих соображений вытекает, что существуют алгебраические расширения полей, которые не являются конечными. Но это не означает, что всякое расширение A(P) бесконечное. Например, поле C есть, как известно, конечное расширение поля R. В то же время C=A(R), т.к. все корни всех многочленов с действительными коэффициентами принадлежат C, а всякое комплексное число a+bi есть корень многочлена над R (например, многочлена f(x)=x ²- 2ax +(a ² + b ²)).
Как было ранее доказано, поле C алгебраически замкнуто, т.е. все алгебраические числа над этим полем принадлежат самому полю C. A(C)=C. Оказывается, что это свойство характерно и для множества A (P) алгебраических чисел над произвольным числовым полем: A [A (P)]=A (P).
Теорема 2. Поле алгебраических чисел A(P) над произвольным числовым полем P алгебраически замкнуто.
Доказательство: Пусть A[A(P)]=B. Нам необходимо доказать, что B=A(P). Включение A(P) B очевидно, достаточно показать, что произвольный элемент ω B принадлежит A(P), другими словами является алгебраическим относительно P. Пусть
g(x)=
,
где
(ί=0,1,…,n-1)-
минимальный
многочлен числа
(такой многочлен существует, т. к. -
алгебраическое число относительно
A(P)). Рассмотрим
алгебраически порожденное расширение
(
)
поля P.
-конечное
расширение поля .Теперь
рассмотрим простое алгебраическое
расширение
поля
.
Оно конечно относительно
.
Значит, можно утверждать, что
()-
конечное расширение поля P.
Но тогда
()
является алгебраическим расширением,
т.е. любой его элемент, в том числе и
алгебраичен относительно P:
A(P).
Основная теорема алгебры комплексных чисел утверждает алгебраическую замкнутость поля C. Поле A=A(Q) алгебраических чисел есть подполе поля C. Из теоремы 2 вытекает, что, и подполе A поля C обладает свойством алгебраической замкнутости.