- •Алгебра
- •График учебного процесса
- •III семестр
- •IV семестр
- •1. Цели и задачи дисциплины, место в учебном процессе, требования к уровню содержания дисциплины.
- •2. Технологическая карта дисциплины
- •3. Содержание дисциплины
- •Самостоятельная работа (темы , выносимые на срс и методическая поддержка срс)
- •Литература для самостоятельной работы
- •4. Организация текущего и промежуточного контроля знаний
- •5. Методические рекомендации преподавателю
- •6. Работа с ресурсами Internet
- •7. Материальное обеспечение дисциплины
- •8. Методическое обеспечение дисциплины:
- •Глоссарий
- •Вопросы, выносимые на экзамены
- •III семестр
- •IV семестр
- •Методические рекомендации по организации внеаудиторной и аудиторной самостоятельной работы студентов
- •Контрольно - измерительные материалы
- •III семестр Модуль 1
- •Модуль 2 Контрольная работа по теме «Многочлены от одной переменной»
- •IV семестр Модуль 1 Тест по теме «Многочлены над полем рациональных чисел» для межсессионного учета знаний
- •Контрольная работа по теме «Многочлены над полями рациональных, действительных и комплексных чисел»
- •Модуль 2 Контрольная работа по теме «Расширения полей и задачи, связанные с этим»
- •Методические указания по подготовке практических занятий
- •Методические рекомендации по выполнению курсовых работ
- •Темы курсовых работ
- •1. Вопросы делимости и решения уравнений в кольце целых чисел.
- •. Программа итоговой государственной аттестации студентов
- •Группы и подгруппы
- •Группа подстановок
- •Подгруппы
- •Циклические группы
- •Разложение группы по подгруппе
- •6. Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Нормальные делители. Фактор - группы.
- •1. Нормальные делители
- •2. Фактор – группы
- •Гомоморфизмы групп
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Элементарные сведения о кольцах
- •Кольцо с единицей
- •Делители нуля. Область целостности
- •Поле частных
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Гомоморфизмы колец
- •Понятие идеала. Примеры
- •Операции над идеалами
- •Сравнения и классы вычетов по идеалу. Фактор – кольцо
- •Гомоморфизм колец. Теорема о гомоморфизмах
- •Характеристика кольца с единицей
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Делимость в области целостности
- •2. Кольцо главных идеалов
- •Евклидовы кольца.
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •1. Многочлены над полем
- •2. Кольцо многочленов как евклидово кольцо
- •3. Техника деления с остатком. Схема Горнера
- •4. Теорема Безу
- •5. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида
- •6.Наименьшее общее кратное
- •7. Неприводимые многочлены
- •8. Каноническое разложение многочлена
- •9. Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
- •Комплексных чисел
- •1. Вводные замечания
- •2. Свойства модуля многочлена
- •3. Основная теорема алгебры комплексных чисел
- •4. Разложение многочлена над полем с в произведение линейных множителей
- •5. Разложение многочленов над полем r в произведение неприводимых множителей
- •6 Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •IV семестр
- •Приводимость и неприводимость многочленов над полем действительных, комплексных и рациональных чисел
- •Рациональные корни многочлена с рациональными коэффициентами
- •Понятие алгебраического числа
- •1. Вводные замечания
- •2. Свойства модуля многочлена
- •3. Основная теорема алгебры комплексных чисел
- •4. Разложение многочлена над полем с
- •5. Разложение многочленов над полем r
- •6 Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •1. Алгебраические числа.
- •2. Простое алгебраическое расширение поля.
- •3. Уничтожение иррациональности в знаменателе.
- •4. Конечные расширения полей.
- •6. Вопросы и упражнения для самостоятельной работы.
- •Лекции 7-8
- •Поле алгебраических чисел
- •Понятие разрешимости в квадратных радикалах
- •Определение 1. Алгебраическое уравнение
- •Связь с расширением числовых полей
- •4. Признаки того, что число выражается в квадратных радикалах.
- •5. Общий критерий разрешимости в квадратных радикалах
- •6. Примеры геометрических задач, сводящихся к уравнениям, неразрешимым в квадратных радикалах
- •Задача об удвоении куба
- •Задача о трисекции угла
- •Задача о квадратуре круга
- •7. Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
Методические рекомендации по выполнению курсовых работ
Курсовые работы па алгебре являются эффективным средством развития творческой активности студентов, их самостоятельности в решении проблем алгебраической науки, а также формой контроля общематематической и алгебраической подготовки студентов к преподаванию математики в различных образовательных учреждениях. Выполнение курсовых работ является сложившейся формой научно – исследовательской работы студентов и формой индивидуальной подготовки будущего специалиста – современного учителя математики.
Курсовые работы по алгебре студенты пишут на IV курсе – в период окончания изучения основного курса алгебры. Это создает благоприятные условия для творческого осмысления полученных знаний, применения их в самостоятельных разработках и проверке на педагогической практике. Курсовая работа по алгебре должна базироваться на анализе учебной и научной литературы по избранной теме, она не должна иметь чисто реферативный характер, самостоятельное решение задач по проблеме исследования составляет ее существенно - значимую часть.
По каждой теме студент должен основательно изучить определенный внепрограммный (но примыкающий к педвузовской программе по алгебре) вопрос (например, доказательство какой – либо теоремы или цикла теорем), подробно и грамотно изложить его, а затем разобрать самостоятельно несколько примеров по данной теме и решить предложенные руководителем задачи по теме курсовой работы.
Структура курсовой работы по алгебре может быть таковой: введение, в котором раскрываются цели и задачи курсовой работы , обосновывается актуальность изучения темы в алгебраической подготовке будущего учителя математики; глава 1 – в ней рассматривается теоретический материал темы курсовой работы; глава 2 посвящена самостоятельному решению студентом задач по теме курсового исследования, предложенных руководителем; заключение, в котором подводится итог проделанной работы, и список использованных источников.
По каждой теме руководитель предлагает студентам примерный план работы, очерчивающий необходимый теоретический материал и типы рассматриваемых в работе примеров и задач.
Темы курсовых работ
1. Вопросы делимости и решения уравнений в кольце целых чисел.
2. Отношения и операции в множестве рациональных чисел.
3. Отношения и операции в поле действительных чисел.
4. Конечные и бесконечные цепные дроби и их применение.
5. Дробно – рациональные функции.
6. Алгебраические уравнения.
7. Системы линейных неравенств.
8. Применение определителей в различных вопросах линейной алгебры.
. Программа итоговой государственной аттестации студентов
(перечень вопросов)
1. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение на классы. Фактор-множества.
2. Группа. Примеры групп. Простейшие свойства групп. Подгруппы. Гомоморфизм и изоморфизм групп.
3. Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы крлец.
4. Система натуральных чисел. Принцип математической индукции.
5. Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком. НОД и НОК двух чисел.
6. Поле. Простейшие свойства поля. Поле рациональных чисел.
7. Упорядоченное поле. Система действительных чисел.
8. Поле комплексных чисел. Числовое поле. Геометрическое представление комплексных чисел и действий над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа.
9. Векторные пространства. Примеры и простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг системы векторов.
10. Следствие системы линейных уравнений. Равносильные системы уравнений. Критерий совместности системы линейных уравнений.
11. Базис и размерность конечномерного веторного пространства. Подпространства. Линейные многообразия. Изоморфизмы векторных пространств.
12. Полиномы над полем. Разложение полинома в произведение неприводимых множителей и его единственность.
13. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Неприводимые над полем действительных чисел полиномы. Сопряженность мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами.
14. Строение простого алгебраического расширения поля. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
Лекция 1