2. Свойства модуля многочлена

Пусть дан многочлен , где – комплексная переменная.

Теорема 1. Если – многочлен ненулевого степени, то для произвольного сколь угодно большого числа можно найти такое число , что выполняется неравенство .

Другими словами, неограниченно возрастает при возрастании .

□ Исходя из свойств модуля (модуль разности больше или равен разности модулей, модуль произведения равен произведению модулей)

(1)

Но учитывая, что модуль суммы не больше суммы модулей, имеем

…(2)

Где А – наибольший из модулей коэффициентов

Положим, что (3)

Тогда (4)

Усиливая с помощью неравенств (2) и (4) неравенство (1) имеем

При неограниченном возрастании станет больше, чем число

(6) т.е. будет выполняться неравенство

,

или, что то же самое

и поэтому

(7)

Если , удовлетворяя неравенству (3), удовлетворяет и неравенству (6), т.е. если (8), то на основании (5) и (7) можно записать

(9)

Покажем теперь, что при достаточно больших величина будет больше заданного числа М. Итак, пусть

(10)

тогда, очевидно, будет справедливо равенство

(11)

Если при этом выполняется также неравенство (9), то из (9) и (11) следует, что . В связи с тем, что неравенство (9) справедливо для тех , которые удовлетворяют условию (8), а неравенство (11) – для тех , которые удовлетворяют условию (10), то неравенство выполняется для тех , которые удовлетворяют обоим этим условиям, т.е. для которых , где

Такое , очевидно, можно найти для любого . ■

Следствие 1. Многочлен может иметь только такие корни, модуль которых меньше числа

(12)

где А – наибольший из модулей коэффициентов

□ Если – произвольное число, но такое, что , т.е. или , то из неравенства (5) вытекает, что , т.е. при таких многочлен не обращается в нуль. ■

Следствие 2. При модуль старшего члена многочлена больше модуля суммы всех других членов многочлена.

□ Если , то . Поэтому

, т.е. .

Но из равенства (2) и (4) получаем:

Окончательно получаем

(13)

при . ■

Применение доказанной теоремы и ее следствий к частному случаю многочлена нечетной степени над полем R дает возможность установить такой важный факт.

Теорема 2. Многочлен нечетной степени над полем R действительных чисел имеет по крайней мере один действительный корень.

□ Пусть переменная принимает только действительные значения, а многочлен имеет действительные коэффициенты. Как известно из курса анализа, является непрерывной функцией от . Из следствия (2) получаем, что при достаточно больших значений модуль старшего члена больше модуля суммы всех других членов этого многочлена. Поэтому при таких значениях числовое значение многочлена имеет знак, который совпадает со знаком старшего члена . А так как – нечетное число, то знак старшего члена будет изменяться вместе со знаком . Поэтому при достаточно больших значениях числовые значения различны по знаку в зависимости от того, положительные или отрицательные значения .

Следовательно, существуют некоторые значения и такие, что и различны по знаку. Но тогда по теореме Больцано – Коши, известной из математического анализа, в интервале существует хотя бы одно действительное число , при котором обращается в нуль, т.е. . ■