3. Содержание дисциплины

Лекционный курс

III семестр.

Модуль 1. Группы и кольца

1. Группы. Основные понятия. Подстановки. Группы подстановок. Подгруппы. Циклические подгруппы. Циклические группы.

2. Нормальные делители. Критерий нормальности. Фактор - группы. Свойства фактор-группы.

Гомоморфизм группы. Свойства гомоморфных отображений. Ядро и образ гомоморфизма. Теорема о гомоморфизмах групп.

3. Кольцо. Элементарные сведения о кольцах. Делители элемента в кольце. Подкольцо кольца. Кольца с единицей. Обратимый элемент кольца. Делители нуля. Область целостности. Поле частных. Связь поля с областью целостности. Строение поля частных. Изоморфизм полей частных области целостности.

4. Идеалы кольца. Примеры. Главный идеал кольца, порожденный элементом а кольца. Операции над идеалами. Сравнения и классы вычетов по идеалу. Факторкольцо. Примеры. Гомоморфизм колец. Теорема о гомоморфизмах. Свойства гомоморфных отображений колец. Ядро и образ гомоморфизма. Характеристика кольца с единицей. Характеристики различных колец. Примеры.

5. Делимость в области целостности. Ассоциированные элементы кольца. Общий делитель элементов а и в кольца. Наибольший общий делитель двух элементов кольца. Взаимная простота элементов кольца. Разложимые и неразложимые элементы кольца. Кольцо главных идеалов. Существование НОД любых элементов а и в кольца главных идеалов. Критерий взаимной простоты двух элементов кольца главных идеалов. Факторкольцо кольца главных идеалов, по идеалу, порожденному простым элементом р кольца. Разложимость ненулевого элемента кольца главных идеалов в произведение простых сомножителей. Единственность такого разложения. Примеры простых и составных элементов колец главных идеалов. Евклидовы кольца. Определение. Свойство евклидова кольца. быть кольцом главных идеалов. Существование НОД элементов в евклидовом кольце. Алгоритм Евклида.

Модуль 2. Многочлены от одной переменной

6. Понятие многочлена над кольцом или полем. Алгебраический элемент над кольцом или полем. Понятие простого алгебраического расширения кольца. Трансцендентное расширение кольца. Вид многочлена над кольцом. Каноническое представление многочлена и его единственность. Кольцо многочленов от одной переменной как область целостности. Степень произведения двух многочленов.

7. Функциональное толкование многочлена. Нуль-многочлен. Равенство многочленов над областью целостности характеристики ноль. Многочлены над полем. Кольцо многочленов как евклидово кольцо. Делимость с остатком в кольце многочленов над полем.

8. Поле рациональных дробей. Разложение рациональных дробей в простейшие.

9. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Свойства модуля многочлена. Основная теорема алгебры комплексных чисел. Свойство корней многочлена степени n, большей или равной 1, с действительными коэффициентами.

IV семестр.

Модуль 1. Многочлены над полем рациональных чисел

1. Приводимость и неприводимость многочленов над полем рациональных чисел. Примитивный многочлен. Критерий приводимости многочлена с целыми коэффициентами над кольцом целых чисел. Теорема Эйзенштейна. Существование в кольце многочленов над полем рациональных чисел неприводимых многочленов любой степени.

2. Рациональные корни многочленов с рациональными коэффициентами. Необходимые условия существования рациональных корней.

Модуль2. Алгебраические расширения числовых полей

3. Понятие алгебраического числа и алгебраического числа над полем. Минимальный многочлен алгебраического числа. Простое алгебраическое расширение поля. Структура такого расширения. Квадратичное расширение поля. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.

4. Понятие конечного расширения поля. Базис и размерность конечного расширения, рассматриваемого как векторное пространство. Примеры конечных расширений полей.

5. Понятие алгебраического расширения. Конечность простых и кратных алгебраических расширений. Степень квадратичного расширения. Связь между степенями конечных расширений.

6. Алгебраичность и простота конечных расширений. Поле алгебраических чисел. Алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел.

7. Понятие разрешимости уравнения в квадратных радикалах. Примеры. Связь с расширениями числовых полей. Нормальное поле уравнения. Критерии разрешимости в квадратных радикалах.

8. Признаки того, что число выражается в квадратных радикалах. Разрешимость в квадратных радикалах уравнений 3-й и 4-й степеней. Общий критерий разрешимости в квадратных радикалах. Примеры задач, сводящихся к уравнениям, не разрешимым в квадратных радикалах (задача удвоения куба, задача трисекции угла, задача квадратуры круга). Критерий построимости действительного числа.

Практические занятия (тематика)

№ п/п	Номер темы	Темы практического занятия	Количество часов
III семестр
1.	1	Группы. Подгруппы. Циклическая подгруппа. Группа подстановок n-й степени и ее подгруппы	2
2.	2	Левостороннее и правостороннее разложение группы по подгруппе. Нормальные делители. Фактор-группа Гомоморфизмы групп. Ядро и образ гомоморфного отображения	2
3.	3	Кольцо. Область целостности, подкольца данного кольца. Построение поля частных. Идеалы кольца. Кольцо главных идеалов. Фактор-кольцо. Гомоморфизм колец	2
4.	4	Идеалы кольца. Кольцо главных идеалов. Фактор-кольцо. Гомоморфизм колец. Евклидово кольцо. Делимость в кольце.	2
5.	5	Делимость в кольце главных идеалов. Кольцо многочленов над областью целостности. Кольцо многочленов - область целостности и евклидово кольцо. Идеалы кольца многочленов над полем	2
6.	6	Операции над многочленами. Нахождение алгебраических чисел. Разложение многочленов над полем комплексных чисел в произведение линейных множителей. Деление с остатком в кольце многочленов. Факториальность кольца многочленов	2
14.	14	Разложение многочленов над полем действительных чисел в произведение неприводимых множителей. Простые и взаимно простые элементы кольца много членов. Идеалы кольца.	2
15.	15	Разложение рациональных дробей в элементарные. Поле рациональных дробей. Рациональные функции.	2
16.	16	Предэкзаменационная итоговая контрольная работа	2
IV семестр
1.	1	Приводимость и неприводимость многочленов над полем рациональных чисел. Критерий Эйзенштейна.	2
2.	2	Отыскание рациональных корней многочленов с целыми и рациональными коэффициентами	2
3.	3	Алгебраические числа над полем. Минимальный многочлен алгебраического числа.	2
4.	4	Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби	2
5.	5	Строение простого алгебраического расширения поля	2
6.	6	Конечное алгебраическое расширение поля	2
7.	7	Составное расширение поля. Связь с разрешимостью уравнений в квадратных радикалах.	2
8.	8	Задачи, не разрешимые в квадратных радикалах	2