- •Алгебра
- •График учебного процесса
- •III семестр
- •IV семестр
- •1. Цели и задачи дисциплины, место в учебном процессе, требования к уровню содержания дисциплины.
- •2. Технологическая карта дисциплины
- •3. Содержание дисциплины
- •Самостоятельная работа (темы , выносимые на срс и методическая поддержка срс)
- •Литература для самостоятельной работы
- •4. Организация текущего и промежуточного контроля знаний
- •5. Методические рекомендации преподавателю
- •6. Работа с ресурсами Internet
- •7. Материальное обеспечение дисциплины
- •8. Методическое обеспечение дисциплины:
- •Глоссарий
- •Вопросы, выносимые на экзамены
- •III семестр
- •IV семестр
- •Методические рекомендации по организации внеаудиторной и аудиторной самостоятельной работы студентов
- •Контрольно - измерительные материалы
- •III семестр Модуль 1
- •Модуль 2 Контрольная работа по теме «Многочлены от одной переменной»
- •IV семестр Модуль 1 Тест по теме «Многочлены над полем рациональных чисел» для межсессионного учета знаний
- •Контрольная работа по теме «Многочлены над полями рациональных, действительных и комплексных чисел»
- •Модуль 2 Контрольная работа по теме «Расширения полей и задачи, связанные с этим»
- •Методические указания по подготовке практических занятий
- •Методические рекомендации по выполнению курсовых работ
- •Темы курсовых работ
- •1. Вопросы делимости и решения уравнений в кольце целых чисел.
- •. Программа итоговой государственной аттестации студентов
- •Группы и подгруппы
- •Группа подстановок
- •Подгруппы
- •Циклические группы
- •Разложение группы по подгруппе
- •6. Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Нормальные делители. Фактор - группы.
- •1. Нормальные делители
- •2. Фактор – группы
- •Гомоморфизмы групп
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Элементарные сведения о кольцах
- •Кольцо с единицей
- •Делители нуля. Область целостности
- •Поле частных
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Гомоморфизмы колец
- •Понятие идеала. Примеры
- •Операции над идеалами
- •Сравнения и классы вычетов по идеалу. Фактор – кольцо
- •Гомоморфизм колец. Теорема о гомоморфизмах
- •Характеристика кольца с единицей
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Делимость в области целостности
- •2. Кольцо главных идеалов
- •Евклидовы кольца.
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •1. Многочлены над полем
- •2. Кольцо многочленов как евклидово кольцо
- •3. Техника деления с остатком. Схема Горнера
- •4. Теорема Безу
- •5. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида
- •6.Наименьшее общее кратное
- •7. Неприводимые многочлены
- •8. Каноническое разложение многочлена
- •9. Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
- •Комплексных чисел
- •1. Вводные замечания
- •2. Свойства модуля многочлена
- •3. Основная теорема алгебры комплексных чисел
- •4. Разложение многочлена над полем с в произведение линейных множителей
- •5. Разложение многочленов над полем r в произведение неприводимых множителей
- •6 Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •IV семестр
- •Приводимость и неприводимость многочленов над полем действительных, комплексных и рациональных чисел
- •Рациональные корни многочлена с рациональными коэффициентами
- •Понятие алгебраического числа
- •1. Вводные замечания
- •2. Свойства модуля многочлена
- •3. Основная теорема алгебры комплексных чисел
- •4. Разложение многочлена над полем с
- •5. Разложение многочленов над полем r
- •6 Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •1. Алгебраические числа.
- •2. Простое алгебраическое расширение поля.
- •3. Уничтожение иррациональности в знаменателе.
- •4. Конечные расширения полей.
- •6. Вопросы и упражнения для самостоятельной работы.
- •Лекции 7-8
- •Поле алгебраических чисел
- •Понятие разрешимости в квадратных радикалах
- •Определение 1. Алгебраическое уравнение
- •Связь с расширением числовых полей
- •4. Признаки того, что число выражается в квадратных радикалах.
- •5. Общий критерий разрешимости в квадратных радикалах
- •6. Примеры геометрических задач, сводящихся к уравнениям, неразрешимым в квадратных радикалах
- •Задача об удвоении куба
- •Задача о трисекции угла
- •Задача о квадратуре круга
- •7. Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
3. Основная теорема алгебры комплексных чисел
Теорема 3. Каждый многочлен степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень.
□ Заметим, что любое натуральное число можно записать так: где, – целое число, а – некоторое нечетное натуральное число.
Пусть – некоторый многочлен с действительными коэффициентами степени .
Докажем теорему методом математической индукции по к.
При показатель степени – нечетное число, и поэтому по теореме 2 утверждение справедливо, т.к. многочлен имеет действительный корень.
Допустим, что теорема 3 справедлива для произвольного многочлена с действительными коэффициентами степени , т.е. для многочлена степень которого делится на и не делится на . Докажем, что тогда она справедлива для всякой многочлена с действительными коэффициентами степени .
Для многочлена , который рассматривается над полем С существует поле разложения . В этом поле имеет n корней. Обозначим их . Выберем теперь произвольное действительное число и рассмотрим все возможные элементы поля , которые имеют вид .
Число таких элементов равно, как нетрудно увидеть, числу сочетаний из n элементов по два, т.е.
,
где – нечетное число.
Рассмотрим теперь многочлен .
Корнями этого многочлена являются числа и только они. Степень равна . Т.к. – действительное число, то коэффициенты – многочлены от с действительными коэффициентами, а значит и от . Легко понять, что любая подстановка элементов приводит к постановке линейных множителей многочлена
а сам многочлен от этого не изменится. А раз многочлен не изменится, то значит не изменяется и его коэффициенты при перестановке элементов . А это значит, что коэффициенты многочлена – симметрические многочлены от над полем R.
Но так как – корни многочлена с действительными коэффициентами, то в соответствии с теоремой 3 о симметрических многочленах, коэффициенты многочлена – действительные числа. Тем самым многочлен именно такой, о котором было сделано предположение индукции, значит имеет хотя бы один комплексный корень. Но поскольку корнями являются только элементы , то хотя бы один из этих элементов должен быть комплексным числом.
Т.о., какие бы мы не взяли действительное число , можно указать такую пару индексов , что элемент поля является комплексным числом. Разным действительным числам и будут соответствовать разные пары индексов. Но множество действительных чисел бесконечно, а число всех возможных пар индексов конечное, значит можно выбрать такие два разных действительных числа и , что им будет отвечать одна и та же пара индексов , для которых
(14)
……………………………….(15)
Являются комплексными числами. Вычитая почленно эти равенства, получим , откуда
(16)
Подставляя (16) в (14), получим
Отсюда
(17)
Как видим сумма и произведение – комплексные числа. Но тогда из (16) и (17) можно найти и которые, очевидно, тоже являются комплексными числами. Числа и можно найти, например, как корни квадратного уравнения .
Тем самым мы установили, что среди корней многочлена существуют даже два комплексных корня ■
Докажем теперь более широкую, по сравнению с теоремой 3, теорему для многочленов с комплексными коэффициентами.
Теорема 4. (основная теорема алгебры комплексных чисел).
Каждый многочлен ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.
□ Пусть – многочлен степени с произвольными комплексными коэффициентами.
Рассмотрим многочлен , где – сопряженное с комплексное число.
Теперь рассмотрим произведение
,
где .
В соответствии со свойствами сопряженных комплексных чисел
,
т.е. все коэффициенты многочлена – действительные числа. Следовательно, по теореме 3 многочлен имеет хотя бы один комплексный корень . Но тогда .
Отсюда либо , либо . В первом случае является корнем многочлена .Во втором случае имеем
Заменим здесь все комплексные числа сопряженными, получим , т.е. число является корнем многочлена и поэтому опять справедлива.