- •Алгебра
- •График учебного процесса
- •III семестр
- •IV семестр
- •1. Цели и задачи дисциплины, место в учебном процессе, требования к уровню содержания дисциплины.
- •2. Технологическая карта дисциплины
- •3. Содержание дисциплины
- •Самостоятельная работа (темы , выносимые на срс и методическая поддержка срс)
- •Литература для самостоятельной работы
- •4. Организация текущего и промежуточного контроля знаний
- •5. Методические рекомендации преподавателю
- •6. Работа с ресурсами Internet
- •7. Материальное обеспечение дисциплины
- •8. Методическое обеспечение дисциплины:
- •Глоссарий
- •Вопросы, выносимые на экзамены
- •III семестр
- •IV семестр
- •Методические рекомендации по организации внеаудиторной и аудиторной самостоятельной работы студентов
- •Контрольно - измерительные материалы
- •III семестр Модуль 1
- •Модуль 2 Контрольная работа по теме «Многочлены от одной переменной»
- •IV семестр Модуль 1 Тест по теме «Многочлены над полем рациональных чисел» для межсессионного учета знаний
- •Контрольная работа по теме «Многочлены над полями рациональных, действительных и комплексных чисел»
- •Модуль 2 Контрольная работа по теме «Расширения полей и задачи, связанные с этим»
- •Методические указания по подготовке практических занятий
- •Методические рекомендации по выполнению курсовых работ
- •Темы курсовых работ
- •1. Вопросы делимости и решения уравнений в кольце целых чисел.
- •. Программа итоговой государственной аттестации студентов
- •Группы и подгруппы
- •Группа подстановок
- •Подгруппы
- •Циклические группы
- •Разложение группы по подгруппе
- •6. Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Нормальные делители. Фактор - группы.
- •1. Нормальные делители
- •2. Фактор – группы
- •Гомоморфизмы групп
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Элементарные сведения о кольцах
- •Кольцо с единицей
- •Делители нуля. Область целостности
- •Поле частных
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Гомоморфизмы колец
- •Понятие идеала. Примеры
- •Операции над идеалами
- •Сравнения и классы вычетов по идеалу. Фактор – кольцо
- •Гомоморфизм колец. Теорема о гомоморфизмах
- •Характеристика кольца с единицей
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Делимость в области целостности
- •2. Кольцо главных идеалов
- •Евклидовы кольца.
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •1. Многочлены над полем
- •2. Кольцо многочленов как евклидово кольцо
- •3. Техника деления с остатком. Схема Горнера
- •4. Теорема Безу
- •5. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида
- •6.Наименьшее общее кратное
- •7. Неприводимые многочлены
- •8. Каноническое разложение многочлена
- •9. Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
- •Комплексных чисел
- •1. Вводные замечания
- •2. Свойства модуля многочлена
- •3. Основная теорема алгебры комплексных чисел
- •4. Разложение многочлена над полем с в произведение линейных множителей
- •5. Разложение многочленов над полем r в произведение неприводимых множителей
- •6 Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •IV семестр
- •Приводимость и неприводимость многочленов над полем действительных, комплексных и рациональных чисел
- •Рациональные корни многочлена с рациональными коэффициентами
- •Понятие алгебраического числа
- •1. Вводные замечания
- •2. Свойства модуля многочлена
- •3. Основная теорема алгебры комплексных чисел
- •4. Разложение многочлена над полем с
- •5. Разложение многочленов над полем r
- •6 Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •1. Алгебраические числа.
- •2. Простое алгебраическое расширение поля.
- •3. Уничтожение иррациональности в знаменателе.
- •4. Конечные расширения полей.
- •6. Вопросы и упражнения для самостоятельной работы.
- •Лекции 7-8
- •Поле алгебраических чисел
- •Понятие разрешимости в квадратных радикалах
- •Определение 1. Алгебраическое уравнение
- •Связь с расширением числовых полей
- •4. Признаки того, что число выражается в квадратных радикалах.
- •5. Общий критерий разрешимости в квадратных радикалах
- •6. Примеры геометрических задач, сводящихся к уравнениям, неразрешимым в квадратных радикалах
- •Задача об удвоении куба
- •Задача о трисекции угла
- •Задача о квадратуре круга
- •7. Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
Евклидовы кольца.
Итак, мы установили, что в любом кольце главных идеалов, а значит, в частности, в кольце целых чисел, любой элемент разлагается в произведение простых сомножителей, причем это разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Кроме того нам известно, что в кольце Z целых чисел справедлива теорема о делении с остатком оказывается, что есть произвольные кольца, в которых справедлива теорема, являющаяся аналогом теоремы о делении с остатком в Z.
Определение 8. Область целостности К называется евклидовым кольцом, если существует отражение множества отличных от O элементов этой области целостности в множество целых неотрицательных чисел N0, т.е. , которое удовлетворяет условию: для любых элементов в К существуют такие элементы и , то , причем или .
Пример. Показать, что кольцо целых чисел Z – евклидово. Рассмотрим отображение в N0, заданное следующим образом: . В кольце Z выполнима теорема о делении с остатком: , т.е. , . Итак, .
Теорема 9. Каждое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов.
□ Пусть J – произвольный идеал евклидова кольца К. Если J – нулевой идеал, то J=(0). Предположим, что J – отличный от нулевого идеала. Тогда в J есть элементы, отличные от нуля. Среди отличных от нуля элементов идеала J, очевидно, есть такой элемент , что для любого ненулевого элемента . По определению евклидова кольца, для любого элемента в кольце К существуют такие элементы и , что , причем, если , то .
Но т.к. , то возможность исключается, поскольку это противоречит выбору ,и поэтому . Таким образом, и, значит, J является кольцом главных идеалов, порожденным элементом .■
Поскольку каждое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов, то для элементов любого евклидова кольца справедливы теоремы 7 и 8. Следует заметить, что утверждение, обратное утверждение 9, неверно: существуют кольца главных идеалов, которые не являются евклидовыми.
Мы доказали существование НОД для любых двух элементов а и b кольца главных идеалов. Но мы не выяснили пока, как же отыскать этот НОД. Метода, который бы дал возможность отыскать НОД любых двух элементов произвольного кольца главных идеалов, не существует. В евклидовых кольцах его можно найти с помощью так называемого алгоритма Евклида.
Пусть и – любые отличные от нуля элементы евклидова кольца К и пусть . Тогда по определению евклидова кольца в К существуют такие элементы и , что причем или , или .
Если , то в К существуют такие элементы и , что , причем или , или . Если , то в К и , что существуют такие элементы и , что и т.д.
Поскольку , то этот процесс последовательного деления не может продолжаться бесконечно: в противном случае множество целых неотрицательных чисел не имело бы наименьшего числа. Следовательно, через несколько шагов мы придем к делению с остатком нуль:
Таким образом, мы имеем равенство
…………….
Последнее равенство означает, что – делителем . Но так как каждый из слагаемых правой части предыдущего равенства делится на , то и его левая часть делится на , т.е. является делителем . Аналогично можно доказать, что является делителем . Следовательно, является общим делителем элементов и . Покажем теперь, что делитель на любой общий делитель элементов и . Пусть b – произвольный общий делитель и . Тогда из равенства следует, что , из равенства следует, что и т.д. Наконец, из равенства следует, что . Т.о., элемент является общим делителем элементов и и делится на любой общий делитель этих элементов, т.е. является наибольшим общим делителем элементов и . Говорят, что НОД и равен последнему, не равному нулю, остатку в алгоритме Евклида.