- •Алгебра
- •График учебного процесса
- •III семестр
- •IV семестр
- •1. Цели и задачи дисциплины, место в учебном процессе, требования к уровню содержания дисциплины.
- •2. Технологическая карта дисциплины
- •3. Содержание дисциплины
- •Самостоятельная работа (темы , выносимые на срс и методическая поддержка срс)
- •Литература для самостоятельной работы
- •4. Организация текущего и промежуточного контроля знаний
- •5. Методические рекомендации преподавателю
- •6. Работа с ресурсами Internet
- •7. Материальное обеспечение дисциплины
- •8. Методическое обеспечение дисциплины:
- •Глоссарий
- •Вопросы, выносимые на экзамены
- •III семестр
- •IV семестр
- •Методические рекомендации по организации внеаудиторной и аудиторной самостоятельной работы студентов
- •Контрольно - измерительные материалы
- •III семестр Модуль 1
- •Модуль 2 Контрольная работа по теме «Многочлены от одной переменной»
- •IV семестр Модуль 1 Тест по теме «Многочлены над полем рациональных чисел» для межсессионного учета знаний
- •Контрольная работа по теме «Многочлены над полями рациональных, действительных и комплексных чисел»
- •Модуль 2 Контрольная работа по теме «Расширения полей и задачи, связанные с этим»
- •Методические указания по подготовке практических занятий
- •Методические рекомендации по выполнению курсовых работ
- •Темы курсовых работ
- •1. Вопросы делимости и решения уравнений в кольце целых чисел.
- •. Программа итоговой государственной аттестации студентов
- •Группы и подгруппы
- •Группа подстановок
- •Подгруппы
- •Циклические группы
- •Разложение группы по подгруппе
- •6. Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Нормальные делители. Фактор - группы.
- •1. Нормальные делители
- •2. Фактор – группы
- •Гомоморфизмы групп
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Элементарные сведения о кольцах
- •Кольцо с единицей
- •Делители нуля. Область целостности
- •Поле частных
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Гомоморфизмы колец
- •Понятие идеала. Примеры
- •Операции над идеалами
- •Сравнения и классы вычетов по идеалу. Фактор – кольцо
- •Гомоморфизм колец. Теорема о гомоморфизмах
- •Характеристика кольца с единицей
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •Делимость в области целостности
- •2. Кольцо главных идеалов
- •Евклидовы кольца.
- •Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •1. Многочлены над полем
- •2. Кольцо многочленов как евклидово кольцо
- •3. Техника деления с остатком. Схема Горнера
- •4. Теорема Безу
- •5. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида
- •6.Наименьшее общее кратное
- •7. Неприводимые многочлены
- •8. Каноническое разложение многочлена
- •9. Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
- •Комплексных чисел
- •1. Вводные замечания
- •2. Свойства модуля многочлена
- •3. Основная теорема алгебры комплексных чисел
- •4. Разложение многочлена над полем с в произведение линейных множителей
- •5. Разложение многочленов над полем r в произведение неприводимых множителей
- •6 Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •IV семестр
- •Приводимость и неприводимость многочленов над полем действительных, комплексных и рациональных чисел
- •Рациональные корни многочлена с рациональными коэффициентами
- •Понятие алгебраического числа
- •1. Вводные замечания
- •2. Свойства модуля многочлена
- •3. Основная теорема алгебры комплексных чисел
- •4. Разложение многочлена над полем с
- •5. Разложение многочленов над полем r
- •6 Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
- •1. Алгебраические числа.
- •2. Простое алгебраическое расширение поля.
- •3. Уничтожение иррациональности в знаменателе.
- •4. Конечные расширения полей.
- •6. Вопросы и упражнения для самостоятельной работы.
- •Лекции 7-8
- •Поле алгебраических чисел
- •Понятие разрешимости в квадратных радикалах
- •Определение 1. Алгебраическое уравнение
- •Связь с расширением числовых полей
- •4. Признаки того, что число выражается в квадратных радикалах.
- •5. Общий критерий разрешимости в квадратных радикалах
- •6. Примеры геометрических задач, сводящихся к уравнениям, неразрешимым в квадратных радикалах
- •Задача об удвоении куба
- •Задача о трисекции угла
- •Задача о квадратуре круга
- •7. Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
Докажите, что в любой группе подгруппа индекса 2 обязательно нормальна.
Докажите, что все группы порядка 4 абелевы и с точностью до изоморфизма исчерпываются группами перестановок или же группами матриц L1 и L2, где
Лекция 3 Кольцо. Область целостности. Поле частных
Элементарные сведения о кольцах.
Кольца с единицей.
Делимость нуля. Область целостности.
Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения.
Элементарные сведения о кольцах
Вспомним элементарные сведения о кольцах, о которых шла речь на первом курсе.
Определение. Кольцом называется непустое множество К, в котором определены две бинарные операции – сложение и умножение, причем по сложению К является абелевой группой – аддитивной группой кольца К, а операция умножения – ассоциативна и связана дистрибутивными законами с операцией сложения.
Если операция умножения в кольце К коммутативна, то кольцо называется коммутативным.
Примерами коммутативных колец является: множество целых чисел Z; множество целых чисел, кратному некоторому отличному от 1 натуральному числу m (в частности, множество 2Z четных чисел); множество рациональных чисел Q; множество действительных чисел R; Множество комплексных чисел C; множество всех чисел вида , где ; множество всех действительных функций от действительной переменной х, непрерывных на [0, 1]; кольцо Zm классов вычетов по модулю m; кольцо скалярных матриц n-го порядка над полем R.
Некоммутативными кольцами являются: кольцо Qn квадратных матриц n –го порядка с рациональными элементами; кольцо Rn матриц n-го порядка над полем R; кольцо Cn матриц n-го порядка над полем С.
Определение. Элемент , где К – произвольное кольцо, называется левым (правым) делителем элемента , если существует элемент такой, что ; при этом говорят также, что а является левым (правым) кратным элемента b.
В коммутативном кольце понятие левого делителя (кратного) совпадает с понятием правого делителя (кратного). Поэтому в этом случае говорят просто «делитель», «кратное».
Замечание 1. Если в кольце нет единицы, то элемент а может быть делителем самого себя. Например, в кольце частных целых чисел ни одно число не является делителем самого себя.
Замечание 2. В кольце без 1 элемент na, где , n – некоторое целое число, не будет, вообще говоря, кратным элемента а. Например, в кольце 3Z элемент не является кратным элементу 3, т.к. .
Замечание 3. Если в кольце К есть единичный элемент е=1, то для . Значит, na является кратным элемента а.
Определение. Подмножество К/ кольца К называется подкольцом кольца К, если К/ является кольцом относительно операций сложения и умножения, определенных в кольце К.
Примерами подколец являются: кольцо четных чисел – подкольцо кольца целых чисел Z; кольцо Z подкольцо кольца рациональных чисел Q; кольцо Q и кольцо чисел вида , где – подкольца кольца действительных чисел; кольцо матриц Qn n-го порядка над полем Q – подкольцо кольца Rn; кольцо Rn – подкольцо кольца Cn; кольцо скалярных матриц – подкольцо кольца Rn.
В каждом кольце К, очевидно, есть следующие подкольца: само кольцо К и нулевое подкольцо, которое состоит только из нуля кольца К. Эти подкольца называются тривиальными.
Выясняя, является ли данное подмножество К/ кольца К подкольцом этого кольца, обычно используют теорему.
Теорема 1. Для того, чтобы непустое подмножество К/ кольца К было ее подкольцом необходимо и достаточно, чтобы сумма a+b подмножества К/ содержалась в К/.
Определение. Пусть К и К/ – два кольца. Кольца К и К/ называются изоморфными, если существует такое бесконечное отображение кольца К на кольцо К/, что .
Справедливо утверждение.
Теорема 2. Если множество F, в котором определены две бинарные операции – сложение и умножение. Изоморфно отображается на некоторое кольцо К, то множество F также является кольцом относительно определенных в нем операций.