2. Операции над идеалами

Теорема 1. Пересечение идеалов и кольца К является идеалом этого кольца.

□ По доказанному ранее пересечение является подгруппой группы кольца К. Далее, для любых элементов и произведение и принадлежат идеалам и , а значит содержатся и в их пересечение .

Следовательно, пересечение и является также идеалом кольца К. ■

Легко проверит, что операция пересечения идеалов коммутативна и ассоциативна и теорема 1, распределяется на любое конечное или бесконечное число идеалов.

Пусть А и В – некоторое непустое подмножества кольца К.

Определения 2. Множество всех элементов вида а+b, где , называется суммой подмножеств А и В и обозначается А+В.

Если подмножество А состоит только из одного элемента а, то А+В обозначают а+А. Т.к. операция сложения элементов кольца К ассоциативна и коммутативна, то операция сложения подмножеств кольца К, как легко проверить, также ассоциативна и коммутативна.

Определение 3. Произведением АВ подмножеств А и В называется множество всех элементов вида , где n – некоторое натуральное число, .

Если А={a}, то произведение АВ обозначают аВ. Это произведение состоит, очевидно, из всех элементов вида . Легко проверить, что операция умножения подмножеств кольца К ассоциативна, а если кольцо – коммутативное, то операция умножения подмножеств также будет коммутативной.

Операция сложения и умножения подмножеств кольца К можно, конечно, применить к идеалам.

Пусть и – произвольные идеалы кольца К.

Теорема 2. Сумма + идеалов и кольца К является идеалом этого кольца.

□ Пусть . Тогда . Тогда сумма . Элемент является противоположным элементу а+b. Если а+b произвольный элемент + , то и – (а+b) , т.к. . Следовательно, + является подгруппой аддитивной группы кольца К. Кроме того, для любых элементов a+b и и ■

Теорема 3. Произведение идеалов и кольца К также является идеалом кольца К.

□ Действительно, сумма любых элементов множества является, очевидно, элементом этого же множества, а элемент , противоположный произвольно выбранному элементу , принадлежит к . Кроме того, для любых и и ■

Т.о., в множестве идеалов кольца К выполнимы операции сложения и умножения. Операция сложения при этом – ассоциативна и коммутативна, а операция умножения – ассоциативна. Если К – коммутативное кольцо, то операция умножения идеалов также коммутативна.

3. Сравнения и классы вычетов по идеалу. Фактор – кольцо

Пусть К – некоторое кольцо, а J – произвольный идеал этого кольца. Мы знаем, что К является аддитивной абелевой группой, а идеал J – подгруппа этой группы. Т.к. в абелевой группе все ее подгруппы являются нормальными делителями, то идеал J является нормальным делителем группы К. Следовательно, существует фактор-группа K/J группы К по нормальному делителю J. Она состоит из следующих смежных классов

Очевидно, что K/J – тоже абелева группа, т.к. К – абелева группа. Покажем, что в группе K/J можно так определить операцию умножения, что она будет кольцом относительно определенных в ней операций сложения и умножения. Но, сначала определим понятие сравнения по идеалу и рассмотрим его свойства.

Определение 4. Элемент называется сравнимым с элементом по идеалу J (или по модулю J), если , т.е. если x и y принадлежат к одному и тому же смежному классу аддитивной группы К по подгруппе J.

Записывается

Следовательно, .

Определение 4 определяется на множестве К бинарное отношение, его называют отношением сравнимости.

Отношение сравнимости, как следует из его определения, задается разбиением аддитивной группы К на смежные классы по подгруппе J и, следовательно, является отношением эквивалентности на множестве К, т.е. рефлексивно, симметрично и транзитивно:

,

Классы эквивалентности отношения сравнимости в кольце К являются, таким образом, смежными классами группы К по подгруппе J, они называются классами вычетов кольца К по идеалу J, или по модулю J. Будем обозначать их

Рассмотрим некоторые свойства сравнений.

1. Обе части сравнения можно умножить на любое целое число, т.е.

□ Действительно, . Но тогда

.■

Рассуждая аналогично можно доказать следующие свойства сравнения.

2. К обеим частям сравнения можно прибавить любой элемент :

3. Обе части сравнения можно умножить на любой элемент :

4. Сравнение можно почленно складывать и вычитать:

5. Сравнения можно почленно перемножать:

Итак, мы видим, что над сравнениями можно выполнить те же операции, что и над равенствами, за исключением сокращения обеих частей сравнения на их общий делитель.

Рассмотрим фактор – группу K/J. Она состоит из классов вычетов . Каждый класс порождается любым из своих элементов: , то , поэтому любой из элементов этого класса можно считать представителем этого класса.

Как известно, сложение классов вычетов (смежных классов) определяется так: если и , то – это тот класс вычетов, который содержит элемент a+b.

Или по другому

.

Определим теперь в K/J операцию умножения. Пусть а – любой элемент класса , b – класса . Будем считать, что – это класс, который содержит элемент ab, т.е.

.

Покажем, что определенное так произведение классов не зависит от выбора представителей этих классов. Пусть а, , b и . Тогда , , тогда по свойству 5 , т.е. ab и принадлежат к одному и тому же классу, поэтому , а это значит, что произведение не зависит от выбора представителей в классах и .

Теорема 5. Множество K/J классов вычетов кольца К по идеалу J с определенными в нем операциями сложения и умножения является кольцом. Оно называется фактор – кольцом кольца К по идеалу J или по модулю J.

□ Множество K/J является аддитивной абелевой группой. Определенная в этой группе операция умножения является ассоциативной и связана дистрибутивными законами с операцией сложения.

Действительно,

Аналогично доказывается, что .

Следовательно, K/J – кольцо. ■

Пример 1. В любом кольце К есть единичный идеал – это К. Фактор – кольцо К/К является нулевым кольцом {0}, а фактор – кольцо К/{0} совпадает с К.

Пример 2. В кольце целых чисел Z рассмотрим главный идеал , где m – некоторое отличное от 1 натуральное число. J состоит из всех целых чисел, кратных числу m. Идеал является нулевым классом вычетов: . Все целые числа, которые при делении на m дают в остатке 1, образуют класс вычетов ; все целые числа, дающие при делении на m остаток 2, образуют класс вычетов и т.д., все целые числа, которые при делении на m дают в остатке число (m-1) образуют класс . Других классов вычетов быть не может, поскольку каждое целое число принадлежит к одному из перечисленных нами классов.

Следовательно, фактор – кольцо Z(m) состоит из классов вычетов Операция сложения и умножения выполняются в кольце Z/(m) по таким правилам: чтобы сложить классы и , надо найти сумму k+l представителей этих классов и потом найти остаток от деления k+l на m; если этот остаток равен r, то .

Аналогично, чтобы перемножить классы и , надо найти произведение kl на m; если этим остатком является число s, то .