Вопросы, выносимые на экзамены

III семестр

1. Понятие группы. Примеры. Подгруппы данной группы. Примеры.

2. Подстановки n-й степени. Четные. Нечетные подстановки. Число подстановок.

3. Группа подстановок и ее подгруппы.

4. Циклические подгруппы группы.

5. Циклические группы. Теоремы о бесконечной и конечной циклических группах. Подгруппы циклической группы.

6. Разложение группы по подгруппе. Примеры.

7. Теорема Лежандра и следствия из нее.

8. Нормальные делители. Свойства нормальных делителей.

9. Фактор-группа группы по нормальному делителю. Свойства фактор-группы.

10. Гомоморфизмы групп. Ядро и образ гомоморфизма.

11. Теорема о гомоморфизмах группы.

12. Элементарные сведения о кольцах (определение, виды колец, простейшие свойства).

13. Деление в кольцах. Подкольцо данного кольца.

14. Кольца с единицей.

15. Делители нуля. Область целостности.

16. Поле частных.

17. Идеалы кольца. Операции над идеалами.

18. Сравнения и классы вычетов по идеалу. Фактор-кольцо.

19. Гомоморфизм колец.

20. Теорема о гомоморфизмах.

21. Характеристика кольца с единицей.

22. Делимость в области целостности.

23. Разложимые и неразложимые элементы кольца. Взаимно простые элементы кольца.

24. Кольцо главных идеалов.

25. Критерий взаимной простоты двух элементов кольца главных идеалов.

26. Свойства взаимно простых элементов кольца главных идеалов.

27. Разложение в произведение простых сомножителей элементов кольца главных идеалов.

28. Простые и составные элементы кольца главных идеалов.

29. Евклидовы кольца.

30. Алгебраические и трансцендентные элементы над кольцом. Соответствующие простые расширения кольца. Понятие многочлена над кольцом, вид многочлена.

31. Кольцо многочленов. Кольцо многочленов как область целостности.

32. Существование и единственность простого трансцендентного расширения.

33. Функциональное толкование многочлена.

34. Кольцо многочленов как евклидово кольцо.

35. Свойства модуля многочлена.

36. Доказательство основной теоремы алгебры комплексных чисел.

37. Следствие основной теоремы алгебры комплексных чисел.

IV семестр

1. Техника деления с остатком многочлена на многочлен. Схема Горнера.

2. Терема Безу и ее применения.

3. НОД. Алгоритм Евклида.

4. Взаимно простые многочлены.

5. НОК многочленов.

6. Неприводимые многочлены.

7. Каноническое разложение многочлена. НОД и НОК многочленов.

8. Понятие корня многочлена. Кратные корни.

9. Число корней многочлена.

10. Существование корней многочлена. Поле разложения.

11. Теорема Виета.

12. Производная многочлена.

13. Отделение кратных множителей.

14. Критерий кратности корня многочлена.

15. Рациональные дроби.

16. Разложение рациональных дробей на элементарные.

17. Построение кольца многочленов от нескольких переменных.

18. Различные формы представления многочленов от нескольких переменных.

19. Делимость в кольце многочленов от нескольких переменных.

20. Разложимость в кольце многочленов от нескольких переменных.

21. Определение и элементарные свойства симметрических многочленов.

22. Основная теорема и симметрических многочленах.

23. Приложения симметрических многочленов к решению ряда задач.

24. Результант двух многочленов.

25. Дискриминант.

26. Результант в форме Сильвестра.

27. Решение системы алгебраических уравнений.

28. Решение в радикалах уравнений 3-й степени.

29. Решение уравнений 4-й степени.

30. Задача алгебраического решения уравнений.

31. Приводимость и неприводимость многочленов над полем рациональных чисел.

32. Рациональные корни многочлена с рациональными коэффициентами.

33. Алгебраические числа.

34. Простое алгебраическое расширение поля.

35. Конечные расширения полей.

36. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби.

37. Алгебраичность и простота конечных расширений.

38. Поле алгебраических чисел.

39. Понятие разрешимости в квадратных радикалах.

40. Выражение чисел в квадратных радикалах.

41. Признаки того, что число выражается в квадратных радикалах.

42. Примеры задач, сводящихся к уравнениям, не разрешимым в квадратных радикалах.

В качестве третьего вопроса предлагается задача.