4. Признаки того, что число выражается в квадратных радикалах.

Число , которое выражается в квадратных радикалах через числа некоторого поля , как вытекает из определения, можно представить в виде

r( ) (3) ,где r )- рациональная функция над полем , а - числа, которые выражаются в квадратных радикалах через числа поля .

Пример. Число  + (4)

Выражается в квадратных радикалах через числа поля Q,т.к. его можно представить в виде r , где r=r  - рациональная функция над Q. В данном примере =5, = , т.е. в свою очередь выражаются в квадратных радикалах через числа поля Q : = , где =2x - 10 .

В общем случае выражение построено так , что в нем несколько квад -ратных корней извлекаются один из другого.Назовем порядком данного кор-невого выражения число последовательных квадратных радикалов, которые

стоят один под другим.

Например, выражение имеет порядок 1;выражение –порядок 2;

Выражение имеет порядок 3.Обозначим через Рξ наибольший из порядков выражений, , ,…, в представлении (3) числа ξ.

Для числа ξ,представленного выражением (4),Рξ=2.Число Рξ не определяется

числом ξ однозначно, а зависит от конкретного выражения ξ в квадратных радикалах через числа поля Р. Так число ξ= можно представить и

в виде ξ= + +1.Основным полем тут является Q.В первом случае Рξ=2,

во втором Рξ=1.Если ξ є Р ,то считается ,что Рξ=0

Теорема 4. Для того, чтобы число ξ выражалось в квадратных радикалах

Через числа поля Р, необходимо и достаточно,чтобы существовала конечная

цепочка полей Р1,Р2,…,Рк таких,что:

1)Р1-квадратичное расширение поля Р;

2)Рi+1-квадратичное расширение поля Рi (i=1,2,…,k-1);

3)Число ξ принадлежит полю Рk.

(Доказательство этой теоремы можно найти в книге Л.Я.Куликова «Алгебра

и теория чисел.»

Пример 1. Построим квадратичное расширение для числа

ξ= +

Очевидно,это последовательность Р Р1 Р2,где Р=Q,

Р1=Q( ),Р2=Р1( ).Здесь Р2 есть квадратичное расширение поля Р1,

так как его получили из Р1 присоединением элемента ξ2 = ,являющегося корнем многочлена 2-й степени f(x)=x -(2 -10) над полем Рi

2.Для числа ξ= соответствующая последовательность из пяти полей:Р=Q, Р1=Q( ),Р2=Р1( ),Р3=Р2( ),Р4=Р3( )

Недостатком теоремы 4 (критерия возможности выразить число в квадратных радикалах через числа данного поля Р) является то,что его трудно применить при решении конкретной задачи. В большинстве случаев число ξ задается только при помощи какого-то условия,которое связывает его с элементами поля Р,и в этом случае построить цепочку квадратичных расширений практически невозможно . Но опираясь на эту теорему рассмотрим ряд утверждений .которые во многих случаях позволяют полностью решить вопрос о возможности или невозможности выразить конкретное число в квадратных радикалах через элементы конкретного поля .

Теорема 5. Все числа ,которые можно выразить в квадратных радикалах

через числа поля Р,алгебраические над этим полем.

Доказательство: В соответствии с теоремой 4 всякое число ξ,которое можно выразить в квадратных радикалах через числа поля Р,принадлежат некоторому полю Рk,образованному из Р с помощью цепочки квадратичных расширений :Р Р1 Р2 ... Рk.

По ранее доказанному поле Рk есть конечное расширение поля Р,т.е. все числа,в частности ξ, алгебраичны над Р.

Теорема 6. Если корень ξ неприводимого над полем Р многочлена

f(x)=x +an-1x +…+a1x+a0 выражается в квадратных радикалах через числа поля Р,то степень многочлена f(x) есть число вида 2 (m-целое неотрицательное число).

Доказательство: Так как ξ выражается в квадратных радикалах через числа

поля Р, то по теореме 4 существует конечная цепочка квадратичных расширений Р Р1 ... Рk такая ,что поле Рk содержит число ξ,а поэтому содержит и минимальное поле Р(ξ).

Р(ξ)-конечное расширение поля Р степени n. Поле Рk есть конечное расширение поля Р степени 2 .Так как Р(ξ) есть подполе поля Рk, то число n есть делитель числа 2 .Это и означает, что число n есть число вида 2 .

Следствие: Корни многочлена f(x),неприводимые над полем Р,степень которого не является степенью числа 2 ,не выражаются в квадратных радикалах через числа этого поля.