3. Техника деления с остатком. Схема Горнера

Рассмотрим на практике как делить с остатком многочлен f(x) на g(x) P[x]. Для этого из делимого f(x) , где g(x) – делитель, а и - старшие коэффициенты f(x) и g(x) соответственно

1. f(x) – x^n-mg(x)= (x), где f(x) – делимое, g(x) - делитель

a_n – старший коэффициент делимого,

b_n – старший коэффициент делителя,

n – степень делимого

m – степень делителя

2. Затем с этой разностью поступаем так же как и с f(x). Если , т.е.

- старший член этого многочлена и , то из него вычтем =

И так далее проделываем до тех пор, пока не получится многочлен , степень которого меньше m. Такой многочлен обязательно наступит, так как степень делимого каждый раз уменьшается, по крайней мере на 1. Найденным таким образом многочлен и есть r(x), а s(x) представляет из себя сумму множителей при g(x)

, …, которые строились в этом процессе. Именно этот процесс положен в основу правила деления уголоком многочлена на многочлен из школьной математики.

Пример 1.

f(x) = x⁴ – 2x³ + x – 1 поделить на g(x) = x² – 2 c остатком

Решение:

1)

2) с поступим также как и с f(x):

= . Аналогично:

3)

r(x)= - 3x+3 – остаток, т.к. его степень меньше степени g(x)

s(x) = x²+(-2x)+2=x²-2x+2 – частное

То же самое, но в другой записи: “Деление уголком”

_

= S(x)

_

_

= r(x)

Важным случаем деления с остатком является тот случай, когда g(x) является линейным многочленом вида (x-a), тогда деление f(x) на (x-a) можно производить по схеме Горнера. Оно основано на методе неопределённых коэффициентов. Разъясним этот метод на том же примере.

Пример 2.

Поделить с остатком на g(x)=x² – 2

Решение: известно, существуют такие многочлены s(x) и r(x), для которых справедливо равенство:

f(x) = S(x)g(x)+r(x);

deg r(x)<deg g(x);

deg g(x)=2 => deg r(x) 1;

deg S(x) n – m => deg S(x) 4ּ2=2;

deg S(x)=2 => S(x) = A₂x² + A₁x + A₀;

r(x) = B₁x + B₀

x⁴ -2x³ + x – 1 = (x² – 2)(A₂x² + A₁x + A₀) + (B₁x + B₀);

x⁴ -2x³ + x – 1 = A₂x⁴ + A₁x³ + A₀x² – 2A₂x² – 2 A₁x – 2A₀ + B₁x + B_0;

x⁴ -2x³ + x – 1 = A₂x⁴ + A₁x³ + (A₀ – 2A₂)x² + (B₁ – 2 A₁)x + B₀ – 2A₀ Приравнивая коэффициент в обеих частях равенства, получим:

=> Значит, S(x) = x² – 2x + 2 , а r(x) = – 3x + 3

Применим метод неопределенных коэффициентов для деления многочлена f(x) на линейный двучлен g(x) = x – a в общем виде

............................................

. Откуда

(2)

Формулу (2) можно получить с помощью таблицы, называемой схемой Горнера

				…
				…

Пример 3. поделить с остатком f(x) = x⁴ – 3x² + 2x + 1 на g(x) = x – 2

	1	0	-3	2	-1
2	1	2ּ1+0=2	2ּ2+(-3)=1	2ּ1+2=4	2ּ4+(- 1)=7

S(x) = x³ + 2x² + x + 4 –частное,

r(x) = 7 – остаток,

Особенно целесообразно применять схему Горнера в тех случаях, когда надо найденное частное снова поделить на некоторый линейный двучлен. Тогда по схеме Горнера можно сэкономить записи

Пример 4.

	1	0	-3	2	-1
-2 -2	1 1	-2 -4	1 9	0 18	-1

Поделить с остатком

f(x) = x⁴ – 3x³ + 2x – 1 на двучлен g(x) = x +2, полученное частное снова поделить на x + 2

S(x) = x³ – 2x² +x

r(x) = -1

S₁(x) = x² – 4x +9

r₁(x)= - 18

Легко проверить, что в этом примере остаток при делении f(x) на равен значению многочлена f(x) при , т.е. f(a), т.е. f(2) = 16 – 15 – 4 – 1 = 1. Это утверждение верно в общем случае.