5. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида
Нами доказано, что кольцо многочленов от х над полем P, т.о. P[x] – область целостности, евклидово кольцо, следовательно кольцо главных идеалов. Конкретизируем понятие общего делителя и наибольшего общего делителя в случае кольца P[x].
Определение 1.
Если многочлен
является
делителем многочленов f(x)
и g(x),
то он называется общим делителем
многочленов f(x)
и g(x),
т.е.
(f(x)
^g(x)
)=>
-общий делитель f(x)
и g(x).
Определение 2. Общий делитель многочленов f(x) и g(x), который делится на любой общий делитель многочленов f(x) и g(x), называется наибольшим общим делителем многочленов f(x) и g(x) и обозначается (f,g)
Понятно, что любые
два многочлена f(x)
и g(x)
имеют тривиальные общие делители 1
кольца P[x],
т.е. все отличные от нуля константы поля
P. Очевидно, что общий делитель
многочленов f(x)
и g(x)
находится не однозначно, а с точностью
до постоянного множителя т.е если
- наибольший общий делитель, то и
также
является наибольшим общим делителем
многочлена f(x)
и g(x).
Поэтому в дальнейшем при рассмотрении
общих делителей многочленов, мы не будем
принимать во внимание тривиальные
делители и будем считать взаимно простыми
такие многочлены, у которых нет других
общих делителей, кроме константы.
Определение 3. Многочлены f(x) и g(x) P[x] называются взаимно простыми, если любой их общий делитель является многочленом нулевой степени (отличной от нуля константой).
Очевидно, что два многочлена взаимно просты тогда и только тогда, когда их наибольший общий делитель равен 1.Основное утверждение относительно наибольшего общего делителя многочленов можно сформулировать так:
Терема 2. Для
любых двух многочленов f(x),g(x)
P[x]
существует наибольший общий делитель
(f,x)=
,
который равен
f(x)u(x)
+ g(x)
(x)=1
(3)
, где
и
некоторые многочлены из P[x].
Говорят, что
линейно
выражается через многочлены f(x)
и g(x).
Доказательство:
Доказательство этой теоремы вытекает из того, что ранее мы доказали, что кольцо P[x] – евклидово, а значит, кольцо главных идеалов, а в нём для любых двух его элементов существует наибольший общий делитель этих элементов, причём он линейно через них выражается, значит равенство (3) имеет место.
Следствие.
Многочлены f(x)
и g(x)
P[x]
взаимно просты тогда и только тогда,
когда существует
и
P[x],
такие что f(x)
.
Из этого следствия следует ряд простых, но важных свойств простых многочленов:
10 f(x) и g(x), h(x) P[x], ((f,g)=1^(f,h)=1) => (f,gh)=1
20 f(x) и g(x), h(x) P[x], (f(x)g(x) h(x)^(f,h)=1) => f(x) h(x)
30 f(x) и g(x), h(x) P[x], (f(x) g(x)^g(x) h(x)^(g,h)=1)=> f(x) g(x)h(x)
Рассмотрим способ отыскания наибольшего общего делителя двух многочленов
Пусть даны два многочлена f(x) и g(x) P[x], степень f(x) больше, либо равно степени g(x). Выполним последовательно ряд операций деления с остатком и эти операции запишем следующей системы равенств:
f(x) разделим на g(x)
f(x)= g(x)S1(x) + (x)
f(x) разделим на (x) (4)
g(x)
=
(x)S2
+
(x)
(x) разделим на (x)
(x)=
(x)S3(x)
+
(x)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(x)
=
Sn(x)
+
(x)
(x)Sn+1(x)
Здесь мы исходим из того, что поле конечного числа делений остаток (x)=0
В самом деле, из определения деления с остатком следует, что степень (x) меньше степени g(x), степень (x) меньше степени (x), степень (x) меньше степени (x), степень (x) меньше степени (x)
И вообще степень
k(x)
меньше степени
k-1(x);
k=1,2,..,n.
Это означает, что либо какой то из
остатков
k
= 0, либо степень остатка, уменьшилась
при любом делении по крайней мере на 1,
станет равной нулю. Если степень
(x)
= 0 , т.о.
(x)
= 0 (т.к. многочлен делится на многочлен
нулевой степени без остатка). Таким
образом во всех случаях алгоритм Евклида
для многочленов сводится к конкретному
числу делений с остатком. Если степень
g(x)
= m, то степень
(x)
меньше или равна m
– 1, и значит число шагов в схеме (4) не
может превышать
.
В соответствии с общей теорией, последний, не равный нулю остаток в системе равенств (3) и является наибольшим общим делителем, т.е. (x) = (f,g)
Пример 7. Найти наибольший общий множитель (f,g) многочленов.
f(x)
=
,
g(x)=
Решение:
Будем находить, пользуясь алгоритмом Евклида, но т.к. наибольший общий делитель находится с точностью до постоянного множителя, то деление в алгоритме Евклида можно произвести так: либо делимое, либо делитель будем умножать на любую константу не равную нулю, а изменения остатка (умножение его на эту константу) роли не играет.
x4
+ x3 +x2
+ x + 1 4x3
+ 3x2 + 2x
+ 1
__ 4x4 + 4x3 +4x2 + 4x + 4 x + 1
4x4 + 3x3 + 2x2 + x
x3
+ 2x2 + 3x
+4
__ 4x3 + 8x2 + 3x +4
4x3 + 3x2 + 2x +1
:5 5x2 +10x +15
_ 4x3
+ 3x2 + 2x
+ 1 x2
+2x + 3
4x3 + 8x2 + 12x 4x -5
__ -5x2 – 10x + 1
-5x2
+10x - 15
16
_4x – 5 1
4x
4x - 5
_ -5
-5
0
т.о. наибольший общий делитель (f,g) = 1, т.е многочлены f(x) и g(x) взаимно простые. Система равенств (4) алгоритма Евклида позволяет не только найти наибольший общий делитель, но и выразить его линейно через многочлены f(x) и g(x).
Пример 8. Наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x) выразить через них линейно
f(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1,
g(x) = 4x3 + 3x2 + 2x + 1.
Р
ешение:
В данном случае не будем менять частные и остатки в алгоритме Евклида
1
)
f(x) = g(x)S1(x)
+
;
_ x2
+ x3
+ x2
+ x +1 4x3
+ 3x2
+ 2x +1
x4
+
x3
+
x2
+
x
x
+
= S1(x)
x3
+
x2
+
x
+ 1
x3
+
x2
+
x
+
2
)
g(x) =
(x)
S2(x)
+
(x)
__ 4x3
+ 3x2
+2x +1
x2
+
x
+
=
(x)
4x3
+ 8x2
+12x
x
+
=S2(x)
_ -5x2 – 10x + 1
-5x2 – 10x – 15
x2
+
16 =
(x)
.
x2
x2
+
x
+
= S3(x)
3 ) (x) = (x)S3(x)
0
=
(x)
=
>
(f,g)
=
(x)
= 16
Из второго равенства выразим (x) = g(x) - (x)S2(x)
Из первого равенства выразим (x) = f(x) – g(x)S1(x) => (x) = g(x) – (f(x) S1(x)) S2(x)=
(x) = g(x) – f(x) S2(x) + g(x) S1(x) S2(x)=g(x) – f(x) S2(x) + g(x) S1(x) S2(x) =
=f(x) (S2(x))+g(x)(1+S1 (x)S2 (x));
(
f,g)=f(x)
[S2(x)]
+g(x) [1+S1(x)S2(x)]
=> 16 = (x4
+ x3
+x2
+ x + 1) (-
x
+
)+
(x) v(x)
+( 4x3 + 3x2 + 2x + 1) (1+( x + ))( x - ))