5. Общий критерий разрешимости в квадратных радикалах

Рассмотрим произвольное уравнение

f(x)=anx +an-1x +…+a1x+a0=0 (5) с основным полем Р.

Теорема 7. Для того, чтобы уравнение (5) с основным полем Р и нормою К

Решалось в квадратных радикалах ,необходимо и достаточно ,чтобы степень

нормы К относительно поля Р была бы целой неотрицательной степенью

числа 2,т.е (К:Р)=2 (m>0).

1)Необходимость условия. Пусть f(x) имеет корни α1,α2,…αn .Если α1 выражается в квадратных радикалах ,то существует такая последовательность квадратичных расширений Р Р1 … Рk (6),что расширение Рk содержит Р(α1).Если при этом α2 Рk ,то в связи с возможностью выразить α2 в квадратных радикалах через числа поля Р, и , тем более ,поля Рk, то последовательность (6) можно продолжить ,построив дальнейшие квадратичные расширения Р Р1 … Рk Рk+1 … Рe так,чтобы расширение Рe содержало и корень α1 и корень α2 ,т.е.содержало бы поле Р(α1, α2).Продолжая такие рас -суждения , убеждаемся, что существует такая последовательность квадратичных расширений Р Р1 … Рs,что поле Рs включает норму К Р(α1,α2,…,αk) многочлена f(x).Степень (Рs:Р) равна 2 .Так как Рs К, то степень К относительно поля Р есть делитель числа 2 .Значит (К:Р) есть число вида 2 .

2)Достаточность условия. Если (К:Р)=2 ,то между нормой К и полем Р су-

ществует такое квадратичное расширение Р1 поля Р,что Р Р1 К. Т.е. можно

построить такой квадратный трехчлен,неприводимый над Р, что присоединение его корней к полю Р приводит к квадратичному расширению Р1, которое содержится в норме К. Рассматривая теперь поля Р1 и К и отмечая,что (К:Р1)=2 ,снова устанавливаем существование над Р1 такого неприводимо- го квадратного трехчлена ,присоединение корней которого к Р1приводит к квадратичному расширению Р поля Р ,такого, что К Р .Рассуждая аналогично ,устанавливаем существование такой последовательности квадратичных расширений Р Р1 Р2 … Рk ,что Рk=К.

Теорема 8. Для того чтобы действительное число ξбыло построимо,исходя

из поля Р R,необходимо и достаточно ,чтобы ξ выражалось в квадратных

радикалах через числа поля Р.

Доказательство: Замечание. Будем считать, что число ξ Р построимо ,исходя из множества М R,если отправляясь от совокупности m точек ,координаты которых принадлежат М,можно построить циркулем и линейкой хотя бы одну точку ,для которой ξ-одна из координат.

1)Достаточность условия. Если условие теоремы выполняется,то ξ может

быть получено как результат конечной последовательности рациональных

действий и действий извлечения квадратного корня над числами поля Р и

результатами промежуточных операций. Но результаты рациональных операций над построимыми числами – снова построимые числа ,квадратный

корень из построимого числа а>0 есть тоже построимое число (так как отрезок длины может быть построен циркулем и линейкой как среднее геометрическое между отрезками длины а и 1).Значит построимо и число ξ.

2)Необходимость условия. Пусть теперь известно,что число ξ - построимо,

исходя из поля Р. Значит,в принципе,можно считать известной конечную последовательность построений циркулем и линейкой ,ведущей от точек заданной совокупности (с координатами из Р) к точке с координатой ξ. Применение линейки не выведет из поля Р. Применяя один раз циркуль, построим числа, принадлежащие либо Р ,либо некоторому квадратичному расширению Р1 поля Р. Теперь повторим это рассуждение ,исходя уже из поля Р1;получим , вообще говоря ,поле Р2,являющиеся квадратичным расширением поля Р1.

Таким же образом строим поля Р3,Р4,…,Рi,…,каждое из которых является

квадратичным расширением предыдущего .Так как последовательность построений конечна,приходим на некотором шаге к полю Рk,содержащему число ξ. Итак, существует цепочка квадратичных расширений Р Р1 ... Рk,

такая ,что ξ Рk. Но тогда число выражается в квалратных радикалах через

числа поля Р.

Как видим разрешимость конструктивной задачи с помощью циркуля и линейки и разрешимость алгебраического уравнения в квадратных радикалах–это, по существу ,два аспекта одной и той же проблемы.

Приведем классические примеры таких конструктивных задач.